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3.1复数的概念及其几何意义只要继续扩大数域。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。新知引入思考：方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解么？现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了方程x2+1=0在实数系中无解的问题，即1可以开平方，且－1的平方根为i，所以方程的解为x=i.我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.一.复数的概念由于实数与数i可以进行四则运算，所以实数a与i相加结果记作a+i；实数b与i相乘结果记作bi;实数a与实数b和i相乘的结果相加记作a+bi，等等。从而实数与i进行四则运算的结果都可以写成a+bi(a,b都是实数)的形式。二.复数集复数用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，称之为复数的代数形式。复数a+bi(a,b∈R)中实数a与b分别称为复数z的实部与虚部，i是虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。全体复数所成的集合叫做复数集.用字母C表示.即RbabiaC,实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：(0)()(,)(0)(0)(0)babiabRaba整数有理数实数分数复数无理数无限不循环小数纯虚数虚数非纯虚数二.复数集三.复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小(b=0时除外)，只能由定义判断它们相等或不相等。acbd00ab如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？0101mm解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；四.例题讲解例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，解得x=,y=4.211(3)xyy25四.例题讲解xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实数可以用数轴上的点来表示。(几何模型)五.复数的几何意义(形)数轴上的点(数)实数一一对应复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一个几何意义五.复数的几何意义xyobaZ(a,b)z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一种几何意义在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量来表示复数复数z=a+bi一一对应这是复数的另一种几何意义OZ平面向量五.复数的几何意义xyobaZ(a,b)z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一种几何意义为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或者说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.复数z=a+bi一一对应这是复数的另一种几何意义OZ平面向量OZ.biazbiazOZ或的模，记作的模叫做复数我们把五.复数的几何意义(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（）D六.巩固练习2．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件C六.巩固练习3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m六.巩固练习4.证明复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点不可能位于第四象限。点位于第四象限，证明：若复数所对应的020622mmmm则1123mmm或即不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限.六.巩固练习课堂小结：一.复数的相关概念二.复数的两种几何意义