搜索
118.2.1.2矩形的判定【基础诊断】1．如图18－2－16，在平行四边形ABCD中，请添加一个条件：________(不再添加其他字母和辅助线)，使得平行四边形ABCD成为矩形．图18－2－162．②如图18－2－17，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．图18－2－17(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是________________________．3．已知：如图18－2－18，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2.求证：平行四边形ABCD是矩形．图18－2－18命题点1有一个角是直角的平行四边形是矩形4．如图18－2－19，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，CE∥AB，且CE＝12AB.求证：四边形CDBE是矩形．图18－2－19命题点2有三个角是直角的四边形是矩形5．如图18－2－20，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．图18－2－2026．已知：如图18－2－21所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明．图18－2－21命题点3对角线相等的平行四边形是矩形7．如图18－2－22，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可以添加的条件是()图18－2－22A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD8．如图8－2－23，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件：________，使四边形ABCD为矩形．图18－2－239．如图18－2－24，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．图18－2－24310．如图18－2－25，平行四边形ABCD中，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE，BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A.求证：四边形BECD是矩形．图18－2－25命题点4矩形的性质与判定11．如图18－2－26，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为()图18－2－26A.54B.52C.53D.6512．矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝5cm，P，Q分别为AD，BC上的动点，点P从点D出发向点A运动，运动到点A时停止，点Q同时从点B出发向点C运动，运动到点C时停止，点P，Q的速度都是1cm/s，设点P，Q运动的时间为ts.(1)如图18－2－27①，连接PQ，AQ，CP，当t＝________时，四边形ABQP是矩形；⑧(2)如图18－2－27②，当点P，Q运动1s时，连接AQ，CP，BP，DQ，AQ交BP于点H，CP交DQ于点F，得到四边形HPFQ.求证：四边形HPFQ是矩形．图18－2－27413．如图18－2－28，以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：(1)四边形ADEF是什么特殊形状的四边形？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°？图18－2－285答案1．答案不唯一，如∠A＝90°2．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．4．证明：∵AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，∴CD⊥AB，AD＝BD＝12AB，∴∠CDB＝90°.∵CE＝12AB，∴CE＝BD.∵CE∥AB，∴CE∥BD，∴四边形CDBE是平行四边形．又∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形．5．证明：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．6．解：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAN＝12∠BAC＋12∠CAM＝90°.又∵CE⊥AN，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．7．D[解析]因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，所以只需添加对角线相等即AC＝BD，即可得四边形ABCD是矩形．8．答案不唯一，如AD＝BC等[解析]四边形ABCD的对角线AC＝BD，所以只需添加条件使四边形ABCD是平行四边形即可．因为AD∥BC，所以可以添加AD＝BC，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AF＝AD，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．10．证明：在平行四边形ABCD中，∠A＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD.6又∵AB＝BE，∴BE＝CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴OD＝OE，OC＝OB.∵∠BOD＝2∠A，∠A＝∠BCD，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED，∴四边形BECD是矩形．11．D[解析]连接AP.∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.∵M是EF的中点，∴AM＝12EF＝12AP.∵AP的最小值为直角三角形ABC斜边上的高，等于125，∴AM的最小值是65.12．解：(1)52[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5cm，AD∥BC，∠B＝90°.当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即5－t＝t，解得t＝52.(2)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.∵当t＝1时，PD＝BQ＝1cm，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴BP∥DQ.∵AD＝BC，AD∥BC，DP＝BQ，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形APCQ是平行四边形，∴AQ∥CP，∴四边形HPFQ是平行四边形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABQ＝90°，AD＝BC＝5cm，AB＝CD＝2cm，由勾股定理得：CP＝5cm，BP＝25cm，∴BP2＋CP2＝BC2，∴∠BPC＝90°，∴四边形HPFQ是矩形．13．解：(1)四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，∴AD＝BD＝BA，BC＝BE＝EC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC.在△DBE和△ABC中，∵BD＝BA，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC.又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF.同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形．(2)∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF＝90°，∴∠BAC＝360°－∠DAF－∠DAB－∠FAC＝360°－90°－60°－60°＝150°，∴当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．(3)当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°.此时，A，D，E，F四点共线，∴此时以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．