普通物理学习题1-5答案

习题11-1P点相对于原点的位矢26prijm,P点到Q点的位移42rijm,求Q点相对于原点的位矢并画图.解：设Q点相对与原点的位矢为Qr，则：1-2一质点作直线运动，它的运动方程是2ctbtx,b,c是常数.(1)求此质点的速度和加速度函数；(2)作出xt，t和at图解：这是一个一维的问题.速度(2)dxctbdt，加速度2dacdt.图略.1-3物体按照29.4tx的规律运动，x的单位为米，t的单位为秒.(1)计算下列各时间段内的平均速度：1s到1.1s,1s到1.01s,1s到1.001s;(2)求1s末的瞬时速度；(3)解释上述结果解：这也是一个一维的问题.(1)平均速度xt.1s到1.1s内：224.91.14.911.11xt＝10.29（m/s）,1s到1.01s内：224.91.014.911.011xt＝9.849（m/s）,1s到1.001s内：224.91.0014.911.0011xt＝9.8049（m/s）.(2)速度9.8dxtdt.1-4一质点以110ms的恒定速率向东运动.当它刚到达距出发点为d的一点时，立即以120ms的恒定速率返回原处.问:质点在全过程中的平均速度和平均速率为多少？解：取出发点为原点，向东为x轴正方向.从原点到x＝d处，作匀速直线运动，时间11st＝d/10.从x＝d处返回原点作匀速直线运动，时间22st＝d/20(全过程中，平均速率12sddttt13.3（m/s）返回原处时，位移x＝0，平均速度xt＝0.1－5矿井里的升降机由井底从静止开始匀加速上升，经过3s速度达到13ms，然后以这个速度匀速上升6s，最后减速上升经过3s后到达井口时刚好停止.(1)求矿井深度；(2)作出xt，t和at图.解：（1）以井底为原点，向上为x轴正向.在0—3s内，升降机作匀加速直线运动:210112xtat(1)2210112ax.(2)其中00.由（1）、（2）两式得：1x＝4.5(m).在3—9s内，升降机以1＝3m/s作匀加速直线运动,21xt＝18（m/s）(3)在9—12s内，升降机作匀减速直线运动231212xtat(4)2221232ax,(5)其中20.由（4）和（5）两式得3x＝4.5(m)矿井深度123Hxxx＝4.5＋18＋4.5＝27(m).1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨过定滑轮的绳子拉船靠岸。若人以匀速拉绳，船运动的速度为多少？设滑轮距水面高度为h，滑轮到船初位置的绳长为0l.解：取滑轮下水面为原点，向右为正，任意t时刻，斜边即船到滑轮的长度为0lt,则船相对岸的位置为220xlth,船运动的速度为20/1()dxhdtlt－.1-7如图1-7所示,一身高h的人用绳子拉着雪撬匀速奔跑,雪撬在距地面高度为H的平台上无摩擦地滑行.若人的速度为0,求雪撬的速度和加速度.解：取定滑轮为原点，向右为正.t＝0时，雪橇到定滑轮原长0l，人在滑轮正下方.任意时刻t，雪橇位置为x，速度为，有2200xlHht,dxdt＝20220tHht（）＋（）,dadt＝202230()]HhHht[（）＋（）.1-8一火箭以20m/s的常速度从距地面高度为50m的悬崖边上垂直向上起飞,7s后燃料耗尽.求从发射到火箭落地的时间.解：以悬崖边为原点，向上为正.火箭先以0＝20m/s向上作匀速直线运动，7s时,其位置为10yt＝20×7＝140(m).然后作匀加速运动,t时刻其位置为221012yytgt.到落地时应有－50＝140＋20t－25t.于是得t＝15.6s.1-9两个物体A和B同时从同一位置出发同向运动,物体A做速度为10m/s的匀速直线运动,物体B做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为12m/s.(1)当物体B追上物体A时,他们距离出发位置多远?(2)此前,他们什么时候相距最远?解：(1)A作匀速直线运动:AAxt,(1)B作匀加速直线运动2201122Bxtatat.(2)当B追上A时，ABxx.(3)由(1),(2),(3)可得：220Atsa,200ABxxm.（2）两者相距212ABAsxxtat.令上式对t的导数为0,得t＝10s,此时，它们相距最远:maxs＝50m.1-10一电梯以加速度1.222m/s上升.当电梯速度为2.44m/s时,一个螺丝从电梯天花板落下,天花板到地板的高度为2.74m.求螺丝从天花板落到地板的时间和它相对电梯外柱子的位移.解：取螺钉脱离时开始计时,取此时的电梯顶为原点，向上为正，电梯向上作匀加速运动:210012xxtat,(1)螺钉向上作匀减速运动:22012xtgt,(2)螺钉落到电梯地板上时,12xx.(3)由(1),(2),(3)可得：t＝0.705s,2x＝0.717m.1-11一质点以初速率0和相对地面为的仰角斜上抛出.忽略空气阻力,试证明质点到达最高位置的时间和高度分别为0sin/tg,220sin/2hg,而水平最大位移为20sin2/Rg.证明：质点以初速率0和相对地面为的仰角斜上抛出，可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以起抛点为原点，向上为y轴正向,则有0cosxt,(1)201sin2ytgt,(2)0sinygt.(3)当质点到达最高位置时，0y,由(3)得0sin/tg.将上式代入(2)，可得220sin/2hg.质点回到地面时,y＝0.(4)由(1),(2),(4)可得水平最大位移20sin2/Xg.1-12一小球以相对地面为的仰角斜上抛出.小球在最高位置的速度为12.25m/s,落地点到抛出点的距离为38.2m.忽略空气阻力,求小球的初速率和达到的最大高度.解：同上题，小球在最高位置速度为：0cost＝12.25m/s,(1)落地点到抛出点距离：20sin2/Xg＝38.2m/s,(2)最大高度：220sin/2hg(3)由(1),(2),(3)可得0＝119.6ms,＝'5117,h＝11.9m.1-13一小球以10m/s的初速率从距地面高度为50m的悬崖边上水平抛出.求:(1)小球落地时飞行的时间;(2)落地位置;(3)小球飞行中任意时刻的速度.解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y轴正向,则有0xt,(1)212ygt,(2)ygt.(3)小球落地时y＝-50m，带入（2）式，可得小球飞行时间t＝3.19s.落地位置0xt＝＝31.9m,任意时刻小球的飞行速度210096,t速度的方向角cot0.98art.1-14一列火车以70km/h的速率奔跑,车上一个信号灯挂在距地面高度为4.9m的位置,当灯过地面某处时开始落下.(1)当灯落地时,求灯与车之间的距离以及灯的落地点与开始下落处的距离.(2)求灯相对车和相对地的运动轨迹.解：设该地为原点，车行进方向为x轴正向，y轴向上为正(1)灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0;相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:xt,(1)212ygt,(2)落地时，取y＝0，由上两式得x＝20m.从上两式中消去t，得到运动轨迹:24.90.02yx.(2)灯相对于车作自由落体运动:2012yygt.(3)1-15地面上一根旗杆高20.0m,中午时太阳正位于旗杆上方.下午2点时旗杆影子的运动速度多大?什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?解：设旗杆和旗杆影子的长度分别为H和x,则有xHtg,而旗杆影子的运动速度为2cosdxHdt,所以,下午2点时旗杆影子的运动速度是43220.727101.93910/coscos/6HHms.令H和x相等,则3t点钟(15时).1-16一质点的加速度为64aij2m/s,0t时质点速度等于零,位矢为010rim.求:(1)质点在任意时刻的速度和位矢.(2)质点在xy平面内的轨迹方程并画出轨迹示意图.解：（1）t＝0时，00，010rim由22ddradtdt得＝0dttat+0＝0dttat＝(6ti+4tj)-1msr=0dttvt+r0=2103)ti+22tj(2)由r=2103)ti+22tj得x＝2103)t；y＝22t，消去t得到轨迹方程:2023xy.1-17一质点的运动方程(SI)为23010ttx,22015tty,求:(1)质点初速度的大小和方向;(2)质点加速度的大小和方向.解（1）drdt=ddxtiddytj(－10+60t)i(15－40t)j,质点初速度|t＝0＝－10i＋15j-1ms,大小118.03ms，方向角(与x轴夹角)arctg（-2/3）=12341'.（2）a=ddxti+ddytj＝60i–40j,大小a＝272.11ms,与x轴夹角：arctg（ax/ay）＝arctg（-3/2）=5618'.1-18小球以30m/s的初速率水平抛出.求小球抛出后5s时的切向加速度和法向加速度.解：小球的运动方程r=0ti212gtj30ti212gtj,＝ddrt＝30igtj,2230gtddat＝gj当5ts时,ta＝ddt＝222900gtgt＝8.42m/s,na＝22taa＝5.12m/s.1-19一人在静水中的划船速度为1.1m/s,他现在想划船渡过一宽为4000m,水流速度为0.55m/s的河.(1)如果他想到达正对岸的位置,应对准什么方向划船?渡河时间多长?(2)如果他想尽快渡河,应对准什么方向划船?沿河方向上的位移是多少?解：设静水中的划船速度为01.1m/s,水流速度为u0.55m/s,河宽为l4000m.（1）如果他想到达正对岸的位置,应对准的方向为偏向上游,角度为01arcsinarcsin302u,渡河时间304.197101.17cosltsh.(2)如果他想尽快渡河,方向为0,沿河方向上的位移为2002sutm.1-20一条船沿着平行于海岸的直线航行,到海岸的距离为D,航速为1.为拦截这条船,一快艇以速率2从港C口A驶出,如图所示.已知12.D(1)试证快艇必须在船到达距离港口为x处之前开出,22122Dx;xA(2)若快艇尽可能晚开出,它在什么题1-20图位置和什么时间拦截到这条船?解：（1）由A点做直线AB垂直于AC,则22122txDt,所以22122Dx.（2）由于1122221212,tlDt而2lt,所以122212Dt,则12212Dl.1-21一架飞机从甲地向南飞到乙地又返回甲地,甲乙两地的距离为l.若飞机相对空气的速率为,空气相对地面的速率为u,且飞机相对空气的速率保持不变,试证明:(1)若空气静止,即0u,则飞机往返时间为02lt;(2)若刮北风,则飞机往返时间为01221ttu;(3)若刮西风,则飞机往返时间为02221ttu证：（1）飞机相对空气的速率为,空气相对地面的速率为u。空气静止,即0u，这飞机相对地面的速率为,飞机往返时间为02lt.（2）x轴向东，y轴向北建立坐标系。若刮北风，空气相对地面的速度为牵连速度为－u，飞机从甲地向南飞到乙地时