一维热传导方程的差分格式

《微分方程数值解》课程论文学生姓名1：许慧卿学号：20144329学生姓名2：向裕学号：20144327学生姓名3：邱文林学号：20144349学生姓名4：高俊学号：20144305学生姓名5：赵禹恒学号：20144359学生姓名6：刘志刚学号：20144346学院：理学院专业：14级信息与计算科学指导教师：陈红斌2017年6月25日《偏微分方程数值解》课程论文-2-《一维热传导方程的差分格式》论文一、《微分方程数值解》课程论文的格式1）引言：介绍研究问题的意义和现状2）格式：给出数值格式3）截断误差：给出数值格式的截断误差4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子5）参考文献：论文所涉及的文献和教材二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准1）文献综述：10分；2）课题研究方案可行性：10分；3）数值格式：20分；4）数值格式的算法、流程图：10分；5）数值格式的程序：10分；6）论文撰写的条理性和完整性：10分；7）论文工作量的大小及课题的难度：10分；8）课程设计态度：10分；9）独立性和创新性：10分。评阅人：一维热传导方程的差分格式-3-一维热传导方程的差分格式1引言考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet初边值问题22(,),uuafxttx,cxd0,tT(1.1)(,0)(),uxx,cxd(1.2)(,)(),uctt(,)(),udtt0tT(1.3)的有限差分方法,其中a为正常数,(,),(),(),()fxtxtt为已知常数,()(0),c()(0).d称(1.2)为初值条件,(1.3)为边值条件.本文将给出(1.1)(1.3)的向前Euler格式,向后Euler格式和CrankNicolson格式,并给出其截断误差和数值例子.经对比发现,CrankNicolson格式误差最小,向前Euler格式次之,向后Euler格式误差最大.2差分格式的建立2.1向前Euler格式将区间[,]cd作M等分,将0,T作N等分,并记()/hdcM,/TN,jxcjh,0jM,ktk,0kN.分别称h和为空间步长和时间步长.用两组平行直线jxx,0jM,ktt,0kN将分割成矩形网格.记|0hjxjM,|0ktkN,hh.称,jkxt为结点[1].定义h上的网格函数|0,0kjUjMkN,其中,kjjkUuxt.在结点,jkxt处考虑方程(1.1),有一维热传导方程的差分格式-4-22,,,,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM11kN.(2.1)将1,jkuxt以结点,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有221,,,,().2!jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto整理有212,,,,().2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.2)再将1,jkxt,1,jkxt分别以结点,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,,,=,,(2!3!jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（-））4(4)4,()4!jkuxthoh,231,,,=,,2!3!jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(4)44,().4!jkuxthoh由上述两式可得242112224,2,,,,=()12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.(2.3)将(2.2),(2.3)两式代入(2.1)中,得1112,-u,,2,,,jkjkjkjkjkkjkjuxtxtuxtuxtuxtafxtRh.(2.4)其中4222242,,()122jkjkkjuxtxtahRohxt为方程(2.1)的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM01.kN(2.5)结合初边值条件,可得如下差分格式一维热传导方程的差分格式-5-11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM11,kN(2.6)0(),jjux0,jM(2.7)0(),kjut(),kMkut1.kN(2.8)2.2向后Euler差分格式在结点1,jkxt处考虑方程(1.1),有21112,,,,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM1.kN(2.9)将,jkuxt以1,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21211,(),,,()().2!jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto将上式整理得21112,,,,().2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.10)再将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有23111111,,,=,,(2!3!jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（-））4(4)14,(),4!jkuxthoh23111111,,,=,,2!3!jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(4)414,().4!jkuxthoh由上述两式可得24211111112224,2,,,,=()12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.(2.11)将(2.10),(2.11)两式代入(2.9)中,得一维热传导方程的差分格式-6-1111112,,,2,,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah1,.kjkjfxtR(2.12)其中24211224,,()212ikikkjxtuxtahRohtx为方程(2.9)的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1.kN(2.13)结合初边值条件,可得如下差分格式111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1,kN(2.14)0(),jjux0,jM(2.15)0(),kkut(),kMkut1.kN(2.16)2.3CrankNicolson差分格式在结点1/2,jkxt处考虑方程(1.1),有21/21/21/22,,,,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM01.kN(2.17)将1,jkuxt,,jkuxt以1/2,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21/211/21/2,,,,22!2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxt31/23,.3!2jkuxto21/21/21/2,,,,22!2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxt31/23,.3!2jkuxto将上述两式整理得一维热传导方程的差分格式-7-3211/21/233,,,,().24jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.18)再将1,jkuxt,1,jkuxt分别以,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,(,),=,,(2!3!jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth（-））4(4)4,()4!jkuxthoh,23(4)441,,,,=,,().2!3!4!jkjkjkjkjkjkuxthuxthuxthuxtuxtuxthoh由上述两式得242112224,2,,,,=().12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx(2.19)同理,将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x泰勒级数展开,整理得24211111112224,2,,,,=().12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx(2.20)此时，分别将1,jkuxt,,jkuxt以1/2,jkuxt为中心关于t泰勒级数展开，有2234211/21/21/2222222,,,,1=,22!2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxtxt2231/21/2222,,,=2jkjkjkuxtuxtuxtxxxt421/2222,1.2!2jkuxtoxt利用上述两式得222421/211/2222222,,,,11.222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxxt(2.21)利用(2.19),(2.20)两式,整理有22111222,,,2,,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtxxh一维热传导方程的差分格式-8-421111124,2,,,12jkjkjkjkuxtuxtuxtxthhx42124,.12jkxthohx(2.22)结合(2.21),(2.22)两式,整理得21/21122,,2,,2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxh42111111/2222,2,,,1222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxthxt44221244,,1.21212jkjkxtxthhohxx(2.23)将(2.18),(2.23)式代入(2.17)得1112,,,2,,2jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah111112,2,,,.2jkjkjkkjkjuxtuxtuxtafxtRh(2.24)其中4443222211/21/244223,,,,21212224jkjkjkjkkjxtxtuxtuxtahhRxxxtt32()oh为方程(2.17)的截断误差.舍