10-3三重积分的概念与性质

10.3三重积分的概念与性质10.3.1三重积分概念的实际背景10.3.2三重积分的概念10.3.3三重积分的性质8-1物理背景——空间立体状物体的质量10.3.1三重积分概念的实际背景设有一空间立体状物体，占有空间区域，已知物体的体密度(,,)xyz是上的连续函数，求该物体的质量M．类似于平面薄片质量的求法，把空间区域任意分成n个小空间区域12,,,nVVV．每个小空间区域iV的体积也记为iV，且iV的直径记为id．在iV上任取一点(,,)iii，则iV上的物体质量近似地等于(,,)iiiiV(1,2,,)in，因此物体的质量M近似等于1(,,)niiiiiV，记1max{}iind，所以该物体的质量为01lim(,,)niiiiiMV．8-2定义10.3.1设(,,)fxyz是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割为n个小空间区域12,,,nVVV．每个小空间区域iV的体积也记为iV，且iV的直径记为id，在iV上任取一点(,,)iii(1,2,,)in，作和1(,,)niiiiifV．记1max{}iind，如果极限01lim(,,)niiiiifV存在，且此极限值与的分法，以及每个小空间区域iV中上点(,,)iii的取法都无关，就称此极限值为(,,)fxyz在上的三重积分，记作(,,)dfxyzV.10.3.2三重积分的概念8-3（续定义）01(,,)dlim(,,)niiiiifxyzVfV，其中(,,)fxyz称为被积函数；(,,)dfxyzV称为被积表达式；dV称为体积元素；,,xyz称为积分变量；称为积分区域；称为三重积分号；1(,,)niiiiifV称为积分和．注1：空间物体的质量为(,,)dMxyzV．注2：当(,,)fxyz在空间有界闭区域上连续时，(,,)dfxyzV存在．注3：与二重积分类似，体积元素ddddVxyz．dddxyz称为直角坐标系中的体积元素．从而(,,)d=(,,)dddfxyzVfxyzxyz．8-4以下性质中，为空间有界闭区域，且所涉及的三重积分均存在．性质10.3.1（线性性）设12,kk为常数，则1212[(,,)(,,)]d(,,)d(,,)dfxyzgxyzVfxyzVgxkkkkyzV.性质10.3.2（依区域可加性）如果12，且1与2无公共内点，则12(,,)d(,,)d(,,)dfxyzVfxyzVfxyzV．10.3.3三重积分的性质性质10.3.3（几何度量性）dV的体积．性质10.3.4（保号性）如果在上，(,,)0fxyz，则(,,)d0fxyzV．8-5推论10.3.1（保序性）如果在上，(,,)(,,)fxyzgxyz，则(,,)d(,,)dfxyzVgxyzV．推论10.3.2（积分绝对值不等式）(,,)d|(,,)|dfxyzVfxyzV．性质10.3.5（估值定理）设(,,)fxyz在上有最大值M和最小值m，V是的体积，则(,,)dmVfxyzVMV．性质10.3.6（三重积分中值定理）设(,,)fxyz在空间有界闭区域上连续，V是的体积，则在上至少存在一点(,,)，使得(,,)d(,,)fxyzVfV．8-6⑴如果关于xOy平面对称，1为在xOy平面上侧的部分区域，则1(,,)(,,)d(,,)d(,,)0,2,DDfxyzfxyzVfxyzVzfxyzz如果在上关于为奇函数如果在上关于为偶函数.,定理10.3.1（三重积分的奇偶对称性）设为空间有界闭区域，⑵如果关于yOz平面对称，1为在yOz平面前侧的部分区域，则1(,,)(,,)d(,,)d(,,)0,2,DDfxyzfxyzVfxyzVxfxyzx如果在上关于为奇函数如果在上关于为偶函数.,⑶如果关于zOx平面对称，1为在zOx平面右侧的部分区域，则1(,,)(,,)d(,,)d(,,)0,2,DDfxyzfxyzVfxyzVyfxyzy如果在上关于为奇函数如果在上关于为偶函数.,8-7定理10.3.2（三重积分的轮换对称性）设为空间有界闭区域，⑴如果关于平面yx对称，则(,,)d(,,)dfxyzVfyxzV．⑵如果关于平面xz对称，则(,,)d(,,)dfxyzVfzyxV．例如，设为椭球体22241xyz．由于在22241xyz中，将变量x与y互换后，的表示没有发生变化；而将变量x与z互换后，变为22241xyz，发生了变化，因此由三重积分轮换对称性可得22ddxVyV，而2dxV与2dzV未必相等．⑶如果关于平面zy对称，则(,,)d(,,)dfxyzVfxzyV．8-8