2019届江苏省苏州市高三高考模拟最后一卷数学试题(解析版)

第1页共22页2019届江苏省苏州市高三高考模拟最后一卷数学试题一、填空题1．已知集合，，则__________．【答案】【解析】分析：根据交集的定义，即可求出.详解：集合，，.故答案为.点睛：本题考查了交集运算问题，属于基础题.2．设i是虚数单位，复数i2iaz的模为1，则正数a的值为_______．【答案】3【解析】先化简复数，再解方程21144a即得解.【详解】由题得i1i2i22aaz，因为复数z的模为1，所以21144a，解之得正数a＝3．故答案为：3【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．第2页共22页【答案】48【解析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75所以全团抽取的人数为：212(0.75)6＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．执行如图所示的程序框图，输出的k的值为.【答案】4【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：第3页共22页133130,3,,,1,,,22244kaqaka313313312,,,3,,,4,,4488416164kakak成立，输出4k【考点】程序框图5．设x[﹣1，1]，y[﹣2，2]，记“以(x，y)为坐标的点落在不等式221xy所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为_______．【答案】1﹣8【解析】利用几何概型的概率公式求事件A发生的概率.【详解】由题得x[﹣1，1]，y[﹣2，2]，对应的区域是长方形，其面积为24=8.设事件A发生的概率为P，故P＝88＝1﹣8．故答案为：1﹣8【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知ABC的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若ab且sincosACab，则角A的大小为_____.【答案】2【解析】根据正弦定理化简边角关系可得cossinCB，从而可知0,2C，根据大边对大角的关系可知0,2B，从而可求得2BC；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：sincos1sinsinACAB，即cossinCBcos0C0,2C第4页共22页又abAB0,2B由cossinCB得：sinsin2CB2CB，即2BC2ABC本题正确结果：2【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.7．已知等比数列na满足112a，且2434(1)aaa，则5a＝_______．【答案】8【解析】先求出3a的值，再求5a的值.【详解】∵2434(1)aaa∴2334(1)aa，则3a＝2∴223512812aaa．故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知函数221()log(1)1xaxfxxx，，，若[(0)]2ff，则实数a的值是_______．【答案】2【解析】解方程[(0)]2ff即得a的值.【详解】∵0(0)223f∴[(0)](3)log2afff第5页共22页∵[(0)]2ff∴log22a，因为0,a所以解得a＝2．故答案为：2【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。【答案】4【解析】试题分析：设球半径为r，则由3=VVV球水柱可得32243863rrrr，解得4r．【考点】1．组合几何体的面积、体积．【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：22221(0)xyabab的右顶点、右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为______.【答案】13第6页共22页【解析】根据P，Q关于原点对称假设,Qmn，,Pmn，利用中点坐标公式可求得,22amnM，利用三点共线可得//FQFM，利用向量共线可构造等式，从而求得离心率.【详解】由题意知：P，Q关于原点对称，可设,Qmn，,Pmn又,0Aa，,0Fc，则,22amnM,FQmcn，,22amnFMcQQ，F，M三点共线//FQFM22nammcnc，整理可得：13ca即椭圆C的离心率：13e本题正确结果：13【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够构造出关于,ac的齐次方程，本题构造方程的关键是能够将三点共线转化为向量共线的关系，从而利用向量共线定理可求得结果.11．设函数()sin(2)3fxx，若120xx，且12()()0fxfx，则21xx的取值范围是_______．【答案】(3，)【解析】不妨设120xx，则2121xxxx，再根据函数的图像分析可得解.【详解】不妨设120xx，则2121xxxx，由图可知210()33xx．第7页共22页故答案为：(3，)【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知圆C：22(1)(4)10xy上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．【答案】[2，6]【解析】由题分析可得∠CPA最大为45°，即sin∠CPA≥22，解不等式CACP≥22即得解.【详解】要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥22，即CACP≥22，设点P(5，0y)，则201016(4)y≥22，解得2≤0y≤6．故答案为：[2，6]【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.第8页共22页13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3的一段圆弧AB上一点，2ABBC，则PCPA的最小值为_______．【答案】5﹣213【解析】设圆心为O,AB中点为D,先求出2221944PCPAPMACPM，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36ABAC.取AC中点M，由题得2PAPCPMPCPAAC,两方程平方相减得2221944PCPAPMACPM，要使PCPA取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM,所以PM有最小值为2﹣132，代入求得PCPA的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣213【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．已知实数a，b，c满足2121acbceabe（e为自然对数的底数），则22ab的最小值是_______．【答案】15第9页共22页【解析】设()(1)xuxex，求出函数的单调区间得到e1xx，再求出【详解】设()(1)xuxex，则()1xuxe，所以函数u(x)的增区间为（0，+），减区间为(-,0),所以()(0)0uxu，即e1xx；可知21121121acbceacbaecb，当且仅当210acbc时取等；因为2121acbceabe所以2121acbceabe，210acbc．所以1,2cacb，解得22222(1)51144245ccabcc，当且仅当15c时，取等号．故答案为：15【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题15．已知向量(sin,cos2sin)a，(1,2)b.（1）若//ab，求2sincos13cos的值；（2）若ab，0，求的值.【答案】（1）465（2）2或34【解析】（1）由题得1tan4，再求2sincos13cos的值；（2）若ab，得22sin(cos2sin)5，解方程即得解.【详解】(1)因为ab∥，所以2sincos2sin，于是4sincos；当cos0时，sin0，与22sincos1矛盾，所以cos0，第10页共22页故1tan4，所以2222sincossincostan413cossin4costan465(2)由||||abrr知，22sin(cos2sin)5，即214sincos4sin5，从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是2sin242又由0知，92444，所以5244或7244，因此2或34.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值，考查三角方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：（1）∥平面；（2）⊥平面．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，关键证明线线平行，这可根据三角形中位线性质得到：在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．再根据线面平行判定定理进行证明（2）证明线面垂直，需多次利用线线垂直与线面垂直相互转化：先根据面面垂直性质定理转化为线面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．从而⊥．又因为⊥，所以可得⊥平面．从而⊥．又第11页共22页因为⊥，∥，所以⊥．从而可证⊥平面．试题解析：证明：（1）连结AC，因为ABCD是平行四边形，所以O为的中点．2分在△中，因为，分别是，的中点，所以∥．4分因为平面，平面，所以∥平面．6分（2）连结．因为是的中点，PB=PD，所以PO⊥BD．又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面平面=，平面所以⊥平面．从而⊥．8分又因为⊥，,平面，平面，所以⊥平面．因为平面，所以⊥．10分因为⊥，∥，所以⊥．12分又因为平面，平面，,所以⊥平面．14分【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理17．已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，点P是椭圆C上的一个动点，且12PFF面积的最