专题七--二次函数直角三角形的存在性问题

专题七二次函数综合题y0自学指导2（6分钟）xA已知：O为坐标原点，A(2,1)，点P是x轴上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标.A03A03P1P2P3P4两线一圆类型二直角三角形的存在性问题(安顺2018.26(3))【方法指导】问题找点直角三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点求点坐标“万能法”其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足的点P存在作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；例题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴有两个交点，故可考虑设抛物线的两点式，再将C点代入即可．解：∵抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－0)(x－4)，将C(6，6)代入，得a＝，∴y＝x(x－4)，即此抛物线的解析式为y＝x2－2x;121212(2)连接CD，过点A作x轴的垂线交CD于点B，连接OB，求线段OB的长；例题图②【思维教练】要求线段OB的长度，需求得B点的纵坐标，利用勾股定理即可求出其长度，B点的横坐标已知，且在直线CD上，故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标．解：∵抛物线的解析式为y＝x2－2x，∴y＝(x－2)2－2，∴顶点D的坐标为(2，－2)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将D(2，－2)，C(6，6)代入，得，解得，∴直线CD的解析式为y＝2x－6，当x＝4时，y＝2,∴B(4，2)，即AB＝2，OA＝4，在Rt△BOA中，由勾股定理，得OB＝；12122266kbkb26kb2225OAAB(3)连接OD,OC，判断△OCD的形状，并说明理由；例题图③【思维教练】判断△OCD的形状，可先目测，得到初步猜想△OCD为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里∠DOC＝90°的判断方法可根据勾股定理的逆定理，由三角形的边长入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90°.解：△OCD是直角三角形，理由如下：由勾股定理，得OC2＝62＋62＝72，OD2＝22＋(－2)2＝8，CD2＝(6－2)2＋(6＋2)2＝80，∵OC2＋OD2＝CD2，∴△OCD是直角三角形；(4)在x轴上是否存在一点E，使△COE是以OC为斜边的直角三角形；例题图④【思维教练】要使△COE是以OC为斜边的直角三角形，则∠OEC＝90°，故过点C作x轴的垂线，垂足即为所求．解：存在，如解图①，过点C作CE⊥x轴于点E，则△COE是以OC为斜边的直角三角形．∵C(6，6)，∴E(6，0)；例题解图①(5)点N是抛物线上一动点，且△DCN为直角三角形，求出点N的坐标．例题图⑤【思维教练】要使△DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分∠DCN＝90°，∠CDN＝90°，∠DNC＝90°这三种情况讨论．解：△DCN为直角三角形，分以下三种情况讨论：①当∠DCN＝90°时，如解图②，由(2)可知直线CD的解析式为y＝2x－6，∵CN⊥CD，∴设直线CN的解析式y＝－x＋a，∵直线CN过点C(6，6)，∴a＝9，∴直线CN的解析式为y＝－x＋9，联立，解得(舍去),，∴N1(－3，)；例题解图②122192122yxyxx1166xy223212xy21212②当∠CDN＝90°时，如解图③，∵点N在抛物线上，故可设点N的坐标为(x，x2－2x)，∵D(2，－2)，C(6，6)，∴CN2＝(x－6)2＋(x2－2x－6)2，DN2＝(x－2)2＋(x2－2x＋2)2，CD2＝(6－2)2＋(6＋2)2＝80，∵∠CDN＝90°，∴在Rt△CDN中，CN2＝DN2＋CD2，即(x－6)2＋(x2－2x－6)2＝(x－2)2＋(x2－2x＋2)2＋80，解得x1＝1，x2＝2(舍去)．将x＝1代入y＝x2－2x中，得y＝－，∴N2(1，－)；例题解图③1212121212123232③当∠DNC＝90°时，如解图④，设CD中点为B，由(3)可知△OCD为直角三角，以点B为圆心，CD为直径的圆与抛物线交于点O，此时N3(0，0)．综上所述，△DCN为直角三角形时，点N的坐标为N1(－3，)，N2(1，－)，N3(0，0)．212例题解图④32针对演练1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，∴OC＝3，∵在Rt△BOC中，OC＝3，BC＝5，∴OB＝＝4，∴点B的坐标为(4，0)，将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线y＝kx＋n(k≠0)中，得，解得，∴直线BC的解析式为y=－x＋3，22OCBC304nnk343nk43∵点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为；(2)存在．由(1)知抛物线解析式为，304160ccbacba341543cba3415432xxy3415432xxy对称轴l为直线x==，设点P的坐标为(，t)，如解图，过点C作CD⊥l于点D，连接PC，PB，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为(，3)，点M的坐标为(，0)，第1题解图则CD＝，PD＝|t－3|，PM＝|t|，BM＝4－＝，∴PC2＝CD2＋PD2＝＋(t－3)2，PB2＝PM2＋BM2＝t2＋，BC2＝25，4324152542523492525252525当△BCP是直角三角形时，则有：(ⅰ)当∠BCP＝90°时，即PC⊥BC，PC2＋BC2＝PB2，即＋(t－3)2＋25＝t2＋，解得t=，此时点P的坐标为(，)；(ⅱ)当∠PBC＝90°时，即BP⊥BC，BP2＋BC2＝PC2，即t2＋＋25＝＋(t－3)2，解得t＝－2，此时点P的坐标为(，－2)；(ⅲ)当∠BPC＝90°时，即CP⊥BP，BP2＋PC2＝BC2，即t2＋＋＋(t－3)2＝25，4254925319319425425254949解得t1＝，t2＝，此时点P的坐标为(，)，(，)．综上所述，存在满足条件的点P，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．26232623253192623262326232623252525252.设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2(，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn(()n－1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An.连接AnBn＋1，得Rt△AnBnBn＋1.(1)求a的值；(2)直接写出线段AnBn，BnBn＋1的长(用含n的式子表示)；第2题图2121(2)AnBn＝()2n－3，BnBn＋1＝()n.AnBn＝23－2n，2×[()n－1]2，2×()2n－2或2×，BnBn＋1＝2－n或()n－1－()n；(3)在系列Rt△AnBnBn＋1中，探究下列问题：①当n为何值时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形？②设1≤k＜m≤n(k，m均为正整数)，问：是否存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．212221n2121212121解：(1)∵点A1(1，2)在抛物线上，∴2＝a×12，得a＝2；(3)①由AnBn＝BnBn＋1，得()2n－3＝()n，解得n＝3，所以，当n＝3时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形；②依题意得：∠AkBkBk＋1＝∠AmBmBm＋1＝90°，(ⅰ)当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△AmBmBm＋1时，＝，即＝，＝，第2题解图所以，k＝m，(舍去)；mmkkBABAmk222132322121mk11mmkkBBBBmk2121mk212121(ⅱ)当Rt△AkBkBk＋1∽Rt△Bm＋1BmAm时，＝，即＝，＝，∴2k－3－m＝k－2m＋3，∴m＋k＝6，∵1≤k＜m≤n(k，m均为正整数)，取或，mmkkBBBA1mmkkBABB1mk212132322121mkmk32213221mk51mk42mk∴当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，相似比为：＝＝26＝64;当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，相似比为：＝＝23＝8.51mk42mk5611BBBA5121214522BBBA42121