2006年高考文科数学试题及答案（四川卷）

2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学及参考答案第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式)()()(BPAPBAP24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径)()()(BPAPBAP球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么334RVn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；题号123456789101112答案CADABDBCDBAC（1）已知集合2560Axxx，集合213Bxx，则集合AB（A）23xx（B）23xx（C）23xx（D）13xx（2）函数ln1,1fxxx的反函数是（A）11xfxexR（B）1101xfxxR（C）11011xfxx（D）111xfxex（3）曲线34yxx在点1,3处的切线方程是（A）74yx（B）72yx（C）4yx（D）2yx（4）如图，已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是（A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP（5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（A）30人，30人，30人（B）30人，45人，15人（C）20人，30人，10人（D）30人，50人，10人（6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A）sin6yx（B）sin26yx（C）cos43yx（D）cos26yx(7)已知二面角l的大小为060，,mn为异面直线，且,mn，则,mn所成的角为（A）030（B）060（C）090（D）0120(8)已知两定点2,0,1,0AB，如果动点P满足2PAPB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（A）9（B）8（C）4（D）(9)如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点,,,ABCD在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163PABCDV，则球O的表面积是（A）4（B）8（C）12（D）16(10)直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，则梯形APQB的面积为（A）36（B）48（C）56（D）64（11）设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，则2abbc是2AB的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A）4160（B）3854（C）3554（D）1954第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。（13）1012x展开式中的3x系数为960（用数字作答）（14）设,xy满足约束条件：112210xyxxy，则2zxy的最小值为6;（15）如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF35;（16）,mn是空间两条不同直线，,是两个不同平面，下面有四个命题：①,//,//mnmn②,//,//mnmn③,//,//mnmn④,//,//mmnn其中真命题的编号是①，②;（写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本大题满分12分）数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。解：（Ⅰ）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列∴13nna（Ⅱ）设nb的公比为d由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bdbd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd∵等差数列nb的各项为正，∴0d∴2d∴213222nnnTnnn（18）（本大题满分12分）已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求tanB本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（Ⅰ）∵1mn∴1,3cos,sin1AA即3sincos1AA312sincos122AA1sin62A∵50,666AA∴66A∴3A（Ⅱ）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB∴cos0B∴2tantan20BB∴tan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去∴tan2B（19）（本大题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：记“甲理论考核合格”为事件1A，“乙理论考核合格”为事件2A，“丙理论考核合格”为事件3A，记iA为iA的对立事件，1,2,3i；记“甲实验考核合格”为事件1B，“乙实验考核合格”为事件2B，“丙实验考核合格”为事件3B，（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件解法1：123123123123PCPAAAAAAAAAAAA123123123123PAAAPAAAPAAAPAAA0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.70.902解法2：1PCPC1231231231231PAAAAAAAAAAAA1231231231231PAAAPAAAPAAAPAAA10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.710.0980.902所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D112233PDPABABAB112233PABPABPAB112233PAPBPAPBPAPB0.90.80.80.80.70.90.2540160.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254（20）（本大题满分12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，,EP分别是11,BCAD的中点，,MN分别是1,AECD的中点，1,2ADAAaABa（Ⅰ）求证：//MN面11ADDA；（Ⅱ）求二面角PAED的大小。本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分解法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结,MKNK∵,,MNK分别为1,,AKCDCD的中点∵1//,//MKADNKDD∴//MK面11ADDA，//NK面11ADDA∴面//MNK面11ADDA∴//MN面11ADDA（Ⅱ）设F为AD的中点∵P为11AD的中点∴1//PFDD∴PF面ABCD作FHAE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AEPH从而PHF为二面角PAED的平面角。在RtAEF中，17,2,22aAFEFaAEa，从而22217172aaAFEFaFHAEa在RtPFH中，117tan2DDPFPFHFHFH故：二面角PAED的大小为17arctan2方法二：以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则11,0,0,,2,0,0,2,0,,0,,0,0,AaBaaCaAaaDa∵,,,EPMN分别是111,,,BCADAECD的中点∴3,2,0,,0,,,,0,0,,,2242aaaaEaPaMaNa（Ⅰ）3,0,42aMNa取0,1,0n，显然n面11ADDA0MNn，∴MNn又MN面11ADDA∴//MN面11ADDA∴过P作PHAE，交AE于H，取AD的中点F，则,0,02aF设,,0Hxy，则,,,,,022aaHPxyaHFxy又,2,02aAEa由0APAE，及H在直线AE上，可得:2204244aaxayxya解得332,3417xaya∴8282,,,,,017171717aaaaHPaHP∴0HFAE即HFAE∴HP与HF所夹的角等于二面角PAED的大小2cos,21HPHFHPHFHPHF故：二面角PAED的大小为221arccos21（21）（本大题满分12分）已知函数331,5fxxaxgxfxax，其中'fx是的导函数（Ⅰ）对满足11a的一切a的值，都有0gx，求实数x的取值范围；（Ⅱ）设2am，当实数m在什么范围内变化时，函数yfx的图象与直线3y只有一个公共点本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。解：（Ⅰ）由题意2335gxxaxa令2335xxax，11a对11a，恒有0gx，即0a∴1010即22320380xxxx解得213x故2,13x时，对满足11a的一切a的值，都有0gx（Ⅱ）'2233fxxm①当0m时，31fxx的图象与直线3y只有一个公共点②当0m时，列表：x,mm,mmm,m'fx00fx极大极小∴2211f