光纤光学-第二章概要

《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第1页《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第2页光波导的模式2?光ABCD单模多模《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第3页电磁分离波动方程waveequation纵横分离波导场方程时空分离亥姆霍兹方程Helmholtzequation分析思路光波导：约束光波传输的媒介导波光：受到约束的光波亥姆霍兹方程光线理论波动理论模式《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第4页一、波动方程00BEtDHtDB波动方程推导2202EEt最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离2202HHt理想介质各向同性介质：无自由电荷介质：f=0，Jf=0非时变介质：0,0,ttDEBH物质方程边界条件麦氏方程《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第5页一、波动方程00BEtDHtDB波动方程推导2202EEt最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离2202HHt物质方程边界条件麦氏方程波动方程的标量形式222t直角坐标系中，电磁场的每个分量都成立，也就是说，电磁场向量的每个分量都满足标量波动方程。《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第6页一、波动方程00BEtDHtDB波动方程推导2202EEt最简单的波动方程电矢量与磁矢量分离2202HHt物质方程边界条件麦氏方程波动方程的标量形式222t式中代表E和H的各分量。在圆柱坐标中只有Ez和Hz分量才满足上述波动方程，横向电磁场分量不满足。《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第7页三、亥姆霍兹方程22022202EEtHHt222,itt000EiHHiEDBMaxwell方程222200000022EkEHkHkknfkccHelmholtz方程rrcn000,1,空间时间分离,exp,expErtEritHrtHrit（频域Maxwell方程）《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第8页三、亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程的标量形式220k基本方程直角坐标系2222222xyz2222211()rrrrrz圆柱坐标系222200EkEHkH《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第9页左图表示t=0时刻，电场及磁场随空间的变化情况。HyExz自由介质中的单色均匀平面波若取Z轴方向为传播方向，则()0(,)(,)itzErtExye——横场和纵场称为纵向传播常数，其实就是波矢在Z方向的分量kz。ize纵向振荡因子《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第10页HyExz自由介质中的单色均匀平面波——横场和纵场对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此称为横电磁波，或称为TEM波。以后将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。T－Transverse《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第11页ExHyz导电介质中的平面波()0(,)(,)zitkzErtExye()0(,)zitzExyee衰减因子《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第12页矩形波导圆波导微带线电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波”的形式存在。§1-2波导方程《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第13页一、波导方程横纵坐标分离,,,izEexyzxyeHh略去ite22222200ttkekh222200ekehkh222,izz2222tz()(,,,)(,)itzEexyztxyeHhzlztˆt-垂直于z方向的横向(Transverse)模式场亥姆霍兹方程《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第14页一、波导方程22222200ttkekhβ－（纵向）传播常数，表示光场沿纵向的波动性。e(x,y)和h(x,y)－表示光场（E,H）沿波导横截面的分布，称为模式场222kχ－（横向）传播常数22222txy直角坐标系22222211trrrr圆柱坐标系22222txy直角坐标系《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第15页二、模式波导场方程是一个典型的本征方程，其本征值为β或χ。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”，它相应于某一本征值并满足全部边界条件。每一个模式对应于电磁场的一种稳定存在形式，用电力线或磁力线将此形式描绘出来便是一种特定图案。波导中总的光场分布则是这些模式的线性组合：,,,iiijziiiaeExyzxyebhH模式图形《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第16页模式的特征：模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。一给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。模式的场矢量e(x，y)和h(x，y)具有六个场分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e¢、ez和hr、h¢、hz)。只有这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯一确定。《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第17页izit,将两式代入麦氏方程的两个旋度方程中：(,,)(,),izExyzexye(,,)(,)izHxyzhxyeEjHHjEzyxAAAzyxkjiA并利用以下关系三、模式场的分量形式《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第18页2zzxehiexy22222k式中：222zzyzzxzzyehieyxheihxyheihyx推导纵横关系式《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第19页22221111zzrzzzzrzzheeirrheeirrehhirrehhirr类似地，对于圆柱坐标，可得：返回框图纵横关系式《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第20页1-3模式及其基本性质模式场分布、纵向传播常数（本征值）、横向传播常数、模式截止条件等求解问题求解方法（波动光学方法）•由波导场方程求取Ez和Hz（模式场的纵向分量）•由纵横关系式求取横向场分量•由边界条件获得本征值方程•由本征值方程求取本征值《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第21页1-3模式及其基本性质（以平板波导为例）xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波导结构图•Morethan3layers•n1n2≥n3•Width(iny)d•d~μm•Δn=n1-n2,~0.001-0.01•Δ=Δn/n1≈Δn/n2相对折射率差~0.1-1％Ifn2=n3,对称波导（Symmetricalwaveguide）n2n3,非对称波导（Asymmetricalwaveguide）《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第22页Ez=0，Hz=0的波，称为横电磁波，简记为TEM波Ez0，Hz=0的波，称为横磁波，Ey＝Hx＝0，仅有Ex，Ez和Hy三个场分量。简称为TM波或E波Ez=0，Hz0的波，称为横电波，Ex＝Hy＝0，仅有Ey，Hx和Hz三个场分量；简称为TE波或H波。传导电磁波的分类波导中可存在的波型1-3模式及其基本性质《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第23页介质（1）介质（2）tEtHiEiHrHrEtirzxtEtHiEiHrHrEtirzx平面波的反射与折射（a）TE波（b）TM波⊕代表进纸面，⊙代表出纸面，角标i、r、t分别代表入射、反射和折射1-3模式及其基本性质（以平板波导为例）《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第24页《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第25页1-3模式及其基本性质（以平板波导为例）电磁场沿z方向传输，z方向波导的几何形状不变。在y方向波导是无限延伸的，同时由于对称性，场分量在y方向没有变化，即：0y()()izErexexyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波导结构图从物理量随着指标变化来看，平板波导只与X、Z两个指标有关。又可称平板波导为二维波导。()()izHrhxe《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第26页波导方程：22222200ttkekh22222txy直角坐标系一、波动光学方法（电磁场分析）波导方程：22222200ttkekh22222txy直角坐标系TE波ez=0，hz0的波，称为横磁波，hy＝ex＝0，仅有hx，hz和ey三个场分量。xzd01n3n2nd1n纵横关系式222k22;zzyxihihehxx《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第27页在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：波导层：衬底层：覆盖层：222222120;;,1,2jjkkkknj令：对称波导：32nn22220120zzhxknhxx22220220zzhxknhxx22220320zzhxknhxx《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第28页dz=hn=0n3n1n2xyz11n2n3n1ZX11导模衬底辐射模辐射模《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第29页cossin-dzxdAxBxxdhxxdDe222122220,1,2jjkkkknj解得：其中，2220zzdhhdx对于导模，在波导内应呈振荡形式的解。对于导模，在介质外场分量应迅速衰减。纵向场解基本形式《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第30页导模条件波导内呈振荡形式解，应有2222221010kkn介质板外场分量应迅速衰减，应有对于导模2222222020kkn导模条件为：1020nknk波导内呈振荡形式解，应有2222221010kkn《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第31页横向场解基本形式cossin-xxdiBxAxdxdhxiDexdcossin-yxdiBKxAKxdxdexiDexd2221222200Kkk《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第32页传播常数的确定（本征值方程）2221tanndn221202nkK222022nktand或纵向传播常数证明《光纤光学》第二章光纤光学基本方程第33页221202nkK222022nk两式乘d2后再相加22221202222)(dnnkddK22012UKdWdVkd