高等数学练习题(附答案)

1《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若)(xf在0x点可导，则)(xf也在0x点可导.（）6.若连续函数)(xfy在0x点不可导，则曲线)(xfy在))(,(00xfx点没有切线.（）7.若)(xf在[ba,]上可积，则)(xf在[ba,]上连续.（）8.若),(yxfz在（00,yx）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz在（00,yx）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且1)0()0(ff,则)0(f为)(xf的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设2)1(xxf，则)1(xf.2.若1212)(11xxxf，则0limx.3.设单调可微函数)(xf的反函数为)(xg,6)3(,2)1(,3)1(fff则)3(g.4.设yxxyu,则du.25.曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为.6.设)(xf为可导函数,)()1()(,1)1(2xfxfxFf,则)1(F.7.若),1(2)(02xxdttxf则)2(f.8.xxxf2)(在[0,4]上的最大值为.9.广义积分dxex20.10.设D为圆形区域dxdyxyyxD5221,1.三、计算题（每题5分，共40分）1.计算))2(1)1(11(lim222nnnn.2.求1032)10()3()2)(1(xxxxy在（0，+）内的导数.3.求不定积分dxxx)1(1.4.计算定积分dxxx053sinsin.5.求函数22324),(yxyxxyxf的极值.6.设平面区域D是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin.7.计算由曲线xyxyxyxy3,,2,1围成的平面图形在第一象限的面积.8.求微分方程yxyy2的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：2tanarcsin1xarcxx)(x.32.设)(xf在闭区间[],ba上连续，且,0)(xfdttfdttfxFxxb0)(1)()(证明：方程0)(xF在区间),(ba内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.442xx；2.1；3.1/2；4.dyyxxdxyy)/()/1(2；5.2/3；6.1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为21(2)nn222111(1)(2)nnn21nn且21lim0(2)nnn，21limnnn=0由迫敛性定理知：))2(1)1(11(lim222nnnn=02.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(lnxxxy101022111xxxyy)(10()1(xxy)10102211xxx3.解：原式=xdx112=xdx2)(1124=2cxarcsin4.解：原式=dxxx023cossin=2023sincosxdxx223sincosxdxx=2023sinsinxxd223sinsinxxd=2025][sin52x225][sin52x=4/55.解：02832yxxfx022yxfy故00yx或22yx当00yx时8)0,0(xxf，2)0,0(yyf，2)0,0(xyf02)2()8(2且A=08（0，0）为极大值点且0)0,0(f当22yx时4)2,2(xxf，2)2,2(yyf，2)2,2(xyf02)2(42无法判断6.解：D=yxyyyx2,10),(102sinsinyyDdxyydydxdyyy=dyxyyyy2][sin105=dyyyy)sin(sin10=1010cos]cos[yydy=1010cos]cos[1cos1ydyyy=1sin17.解：令xyu，xyv；则21u，31vvvuuvvvuuvyyxxJvuvu2122213ln212131DdvvdudA8.解：令uy2，知xuu42)(由微分公式知：)4(222cdxxeeyudxdx)4(22cdxxeexx)2(222cexeexxx四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设21arcsinarctan)(xxxxf222222211111111)(xxxxxxxxf=0cxf)(x令0x0000)0(cf即：原式成立。62.解：],[)(baxF在上连续且dttfaFab)(1)(0,dttfbFba)()(0故方程0)(xF在),(ba上至少有一个实根.又)(1)()(xfxfxF0)(xf2)(xF即)(xF在区间],[ba上单调递增)(xF在区间),(ba上有且仅有一个实根.《高等数学》专业学号姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）1.)(xf在点0x处有定义是)(xf在点0x处连续的必要条件.2.若)(xfy在点0x不可导，则曲线)(xfy在))(,(00xfx处一定没有切线.3.若)(xf在],[ba上可积，)(xg在],[ba上不可积，则)()(xgxf在],[ba上必不可积.4.方程0xyz和0222zyx在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设*y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则*yyy为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题2分，共20分）1.设,5)(,12)3(afxxf则a.2.设xxxf3arcsin)21ln()(，当)0(f时，)(xf在点0x连续.73.设xtttxxf2)11(lim)(，则)(xf.4.已知)(xf在ax处可导，且Aaf)(，则hhafhafh)3()2(lim0.5.若2)]([cos)(2xfdxdxxf，并且1)0(f，则)(xf.6.若)(),(xgxf在点b左连续，且)()(),()(xgxfbgbf)(bxa，则)(xf与)(xg大小比较为)(xf).(xg7.若2sinxy，则)(2xddy；dxdy.8.设xxtdtxf2ln)(，则)21(f.9.设yxez2，则)1,1(dz.10.累次积分dyyxfdxxRR)(202022化为极坐标下的累次积分为.三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）1.xxtxdtttdtt0sin010sin)1(lim;2.设1ln22xxeey，求y;3.dxxxx2sin1cossin;4.20224dxxx;5.设22yxxz,求yxzyz2,.6.求由方程)ln()(2yxyxxy所确定的函数)(xyy的微分dy.7.设平面区域D是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin.8.求方程0)ln(lndyyxydxy在初始条件eyx1下的特解.四、（7分）已知bxaxxxf23)(在1x处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极大值与极小值.8五、应用题（每题7分，共14分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为)/(10hkm时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行km1所消耗的费用最小？2.过点)0,1(向曲线2xy作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（7分）设函数)(xf在ax0上的二阶导数存在，且0)0(f,0)(xf.证明xxfxg)()(在ax0上单调增加.高等数学参考答案一、判断题1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.二、填空题1.36；2.32；3.xex2)1(4；4.A5；5.xsin1；6.；7.22cos2,cosxxx；8.2ln；9.dydx2；10.200)2cos(Rrdrrfd.三、计算题91.原式xxxxxxsincos)sin1(limsin10ee12.2222222222)1(2)1(212111xxxxxxxxxeeeeeeeeey22222)1(221xxxxeeeexe2113．原式=dxxxxx2)cos(sincossin)cos(sin)cos(sin12xxdxxCxxcossin14．设txsin2则tdtdxcos2原式=202cos2cos2sin4tdttt2022cossin16tdtt20202)4cos1(22sin4dtttdt20)4sin41(2tt5．23222222)(22yxxyyxyxyxyz10322212223222)(2)(23)(yxxyxxyyxyyxz3222232)()2(yxyxyyx6．两边同时微分得：)(1)()ln()(2dydxyxyxyxdydxdxdy即)()ln()ln(2dydxdyyxdxyxdxdy故dxyxyxdy)ln(3)ln(2（本题求出导数后，用dxydy解出结果也可）7．102sinsinyyDdxyydydxdyyy10)sin(sindyyyy101010coscoscosydyyyy10sin1cos1cos1y1sin18．原方程可化为yxyydydx1ln1通解为]1[ln1ln1Cdyyeexdyyydyyy]1[lnlnlnlnCdyyeeyy]ln1[ln1Cydyyy])(ln21[ln12CyyyCylnln2111eyx1代入通解得1C故所求特解为：01ln2)(ln2yxy四、解：baxxxf23)(2因为)(xf在1x处有极值2，所以1x必为驻点故023)1(baf又21)1(baf解得：3,0ba于是xxxf3)(3)1(3)(2xxfxxf6)(由0)(xf得1x，从而06)1(f，在1x处有极小值2)1(f06)1(f，在1x处有极大值2)1(f五、1.解：设船速为)/(hkmx，依题意每航行km1的耗费为)96(13kxxy又10x时，6103k故得006.0k，所以有)96006.0(13xxy，),0(x令0)8000(012.032xxy，得驻点20x由极值第一充分条件检验得20x是极小值点.由于在),0(上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必