2006年考研数学三真题及答案解析

天任启航考研年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）11lim______.nnnn（2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则2____.f（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d_____.z（4）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.（5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY_______.（6）设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2____.ES二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.[]（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则(A)000ff且存在(B)010ff且存在(C)000ff且存在(D)010ff且存在[]（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.天任启航考研启航考研只为一次考上研(C)11nnnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.[]（10）设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）12()()Cyxyx.（Ｂ）112()()()yxCyxyx.（Ｃ）12()()Cyxyx.（Ｄ）112()()()yxCyxyx[]（11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.[]（12）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.[]（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（Ａ）1CPAP.（Ｂ）1CPAP.（Ｃ）TCPAP.（Ｄ）TCPAP.［］（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211PXPY天任启航考研启航考研只为一次考上研则必有(A)12(B)12(C)12(D)12[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设1sin,,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求(Ⅰ)lim,ygxfxy；(Ⅱ)0limxgx.（16）（本题满分7分）计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.（18）（本题满分8分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.（19）（本题满分10分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()sx.（20）（本题满分13分）设4维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,,,线性相关?当1234,,,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；天任启航考研启航考研只为一次考上研(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ；（Ⅲ）求A及632AE，其中E为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为1,1021,0240,Xxfxx　其他，令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy；(Ⅱ)Cov(,)XY；(Ⅲ)1,42F.（23）（本题满分13分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx其他,其中是未知参数01，12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数.（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计天任启航考研年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）11lim1.nnnn【分析】将其对数恒等化lneNN求解.【详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn，而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn.故101lime1nnnn.（2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则322e.f【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，efxfx，两边对x求导得2e()efxfxfxfx，两边再对x求导得23()2e()2efxfxfxfx，又21f，故323(2)2e2eff.（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d4d2d.zxy【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zfxyxx，22(1,2)(1,2)(4)22zfxyyy，所以1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy.方法二：对224zfxy微分得天任启航考研启航考研只为一次考上研222222d(4)d(4)(4)8d2dzfxyxyfxyxxyy，故1,2d(0)8d2d4d2dzfxyxy.（4）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B2.【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BAEE于是有4BAE，而11211AE，所以2B.（5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY19.【分析】利用XY与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，XY与具有相同的概率密度1,3()30,xfx　　0　　　其他.则max,11,1PXYPXY11PXPY2120111d39PXx.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：天任启航考研启航考研只为一次考上研则1max,11,19SPXYPXYS阴.（6）设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则22.ES【分析】利用样本方差的性质2ESDX即可.【详解】因为()ded02xxEXxfxxx，22222000()dedede2ed2xxxxxEXxfxxxxxxxx0002e2ed2e2xxxxx，所以22202DXEXEX，又因2S是DX的无偏估计量，所以22ESDX.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0fxfx知，函数()fx单调增加，曲线()yfx凹向，作函数()yfx的图形如右图所示，显然当0x时，00d()d()0yyfxxfxx，故应选(Ａ).（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则(A)000ff且存在(B)010ff且存在天任启航考研启航考研只为一次考上研(C)000ff且存在(D)010ff且存在[C]【分析】从220lim1hfhh入手计算(0)f，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)ff的存在性.【详解】由220lim1hfhh知，20lim0hfh.又因为fx在0x处连续，则200(0)lim()lim0xhffxfh.令2th，则2200(0)1limlim(0)htfhftffht.所以(0)f存在，故本题选（C）.（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna