现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)清华大学出版社

1第2章“控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u，输出为2u，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。u2R1RuC1C2u12u图P2.1解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设1C两端电压为1cu，2C两端的电压为2cu，则212221cccduuCRuudt(1)112121cccduuduCCdtRdt(2)选择状态变量为11cxu，22cxu，由式(1)和(2)得：1121121121212111cccduRRCuuudtRRCRCRC2121222222111cccduuuudtRCRCRC状态空间表达式为：212111211212121212122222221111111RRCxxxuRRCRCRCxxxuRCRCRCyuux即:12121121211112222222211111RRCRCRRCRCxxuxxRCRCRC11210xyux2.2建立图P22所示系统的状态空间表达式。1B2BK1M2M)(tf图P2.2解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()ft为输入量，即uf，1M，2M的位移量1y，2y为输出量，选择状态变量1x1y，2x=2y，3x=1dydt，24dyxdt。根据牛顿定律对1M有：211311()dxxMxKxBdt3对2M有：2122412()()dxxdxMxftBBdtdt经整理得：状态方程为：132411313411111243422221()xxxxBBKxxxxMMMBBBxxxuMMMM输出方程为：1122yxyx写成矩阵形式为：11221111133441122222112234001000001000100()10000100xxxxBBKuMMMxxxxBBBMMMMxyxyxx2.5系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的1x、2x、3x作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出，1、2、3均为标量。41/s1/s1/sda1a2a3321uy3x2x1x3x2x1x++++图P2.5系统结构图解图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。着眼于求和点①、②、③，则有①：2111xxx②：3222xxx③：uxx333输出y为1yxdu，得111222333100010001xaxxaxuxax123100xyxdux2.7试求图2.8P中所示的电网络中，以电感1L、2L上的支电流1x、2x作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是3R上的支路电压。5uR1R2R3x1x2y1L2L图P2.8RL电网络解采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程1232222xxRRxLx1111231/uxLxxxRR123yxxR整理得状态空间表达式为133111111223232213320RRRRLLxxLuxxRRRLLxyRRx2.8已知系统的微分方程(1)uyyyy354；(2)uuyy32；(3)uuyyyy75532。试列写出它们的状态空间表达式。(1)解选择状态变量1yx，2yx，3yx，则有：6122331231543xxxxxxxxuyx状态空间表达式为：112233123010000105413100xxxxuxxxyxx(2)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：3222332()3()()()11()1223()232sYssYssUsUssYssUsssss由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为1122330100001031002xxxxuxx12311022xyxx(3)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：323()2()3()5()5()7()sYssYssYsYssUsUs7332()57()235YssUssss在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n，若mn需作如下处理323232()571015185()235235YssssUsssssss再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为112233010000105321xxxxuxx1231005xyxux2.9已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。(1)3321()6116ssgssss(2)23223()231ssgssss(1)解首先将传函(1)化为严格真有理式即：232()6105()11()()6116YsssgsgsUssss令()()()YsgsUs，则有1231236105()()16116sssYsUssss，1231()()16116EsUssss，即：8123123()()6()11()6()()6()10()5()EsUssEssEssEsYssEssEssEs由上式可得状态变量图如下：+++1xyu2x3x+e+-6-11-6由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式1122330100001061161xxxxuxx123xyxux=-6-11-6(2)解由已知得：12312323()()123sssYsUssss，令：1231()()123EsUssss，得：123123()()2()3()()()()2()3()EsUssEssEssEsYssEssEssEs状态变量图如下：93+++1xyu2x3x+e+-1-3-22状态表达式如下：112233010000101321xxxxuxx123321xyxx2.13列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。1u2u1y2yascbsd--图P2.10解设11()()xsys(7)22()()xsys(8)则由系统方框图2.10P可得10112()()()cxsusxssa(9)221()()()dxsusxssb(10)对式710进行拉氏反变换得112121221122()()()()()()()()()()()()xtaxtcxtcutxtdxtbxtdutytxtytxt则系统状态空间表达式为1112221122001001xxuaccxxudbdyxyx2.14试将下列状态方程化为对角标准形。(1)1122010561xxuxx(2)111222330102330215127671xxuxxuxx(1)解①求特征值1(6)5(5)(1)056IA解得121,5②求特征向量a、对于11：11有111112110550vvIAv解得1111211vvvb、对于25：有212222510510vvvIA解得2122215vvv③构造P，求1P121111551441144PvvP④求A，B。11005APAP,151104441111444BPB12则得对角标准型11040514uxx(2)解①求特征值：1032(1)(2)(3)01276IA1231,2,3②求特征向量a、对于11有：1111121213131100131201127501vvvvvvb、对于22有：1111121213132100232204127401vvvvvvc、对于23有：1111121213133100133203127303vvvvvv③构造P，求1P。13195112122143,32111353122PP④求A，B。11100020,003953712723222321151520537127116222APAPBPB则得对角标准型37271002020152000327162xxu2.15试将下列状态方程化为约当