连续弹性体的振动

第四章连续弹性体的振动实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行器（导弹，火箭结构），细长比大于4时可用连续的变截面梁模型描述，小于4时可用弹簧质量块模型描述。本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板的横向振动等常用的典型情况。4.1直杆的纵向自由振动4.1.1直杆纵向振动微分方程假设：1）杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。2）纵向运动过程中，略去杆的纵向伸缩而引起的横向变形。对任一横截面的纵向位移u都可写成关于x和t的函数,uxt以杆左端为坐标原点建立坐标系，在坐标为x处取一微元段dx，在任一时刻t，微元段两端的位移和截面内力如下：在x处，截面位移为,uxt，在xdx处位移为uudxx则dx的绝对变形为udxx，应变ux。在x截面上内力为uNAxAxEEAxx由牛顿第二定律22uNNxAxdxNdxNdxtxxuEAxxx对于等截面的杆，由同种材料构成的AAx，x2222AAuuEtx2222222uEuuatxx该方程为一维波动方程，a为纵波在杆内的传播速度。方程可用分离变量的方法求解,uxtUxTt代入波动方程以后有2''2uUxTtt，2''2uTtUxx2''''aTUUT''''2TUaTU左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数，若使它们相等只有等于一个常数设为''''2TUaTU''0TT''20UUa只有为负数才能确定振动运动，所以不妨设为2，这样有''20TT2''0UUasinTtCtAsincosUxxBxaa则有'',AsincossinuxtTtUxxBxtaa这里'',,,AB为待定常数，由边界条件和初始条件确定。其中Ux相当于在x处截面（质点）的振动的振幅，则Ux也称振型函数。几种典型的边界条件（1）固定端该处纵向位移为零。,0uxt，0,xl。（2）自由端该处横向内力为零。A0uNEx，0,xl即,0uxtx，0,xl(3)弹性支承杆的一端是弹性支承，设为右端。此处轴向内力等于弹性力。,A,ultEkultx（4）惯性载荷一端有一质量块。此处轴向内力等于惯性力。22,,AultultEMxt4.1.2两端固定0,,0utult分别代入解表达式'',(sincos)sinuxtAxBxtaa'0,sin0utBt由于sint不恒为零，故定有'0B',sinsinultAlta同理，由于'A和sint都不恒为零，所以有sin0la边界条件确定了频率方程，频率是未知的。0,,2,3,...(1,2,3...)lnna0舍去（导致振型函数为零，不振动）。所以(1,2,3...)nnanl有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。如对n有'''sinsinsinnnnnnnaxnUxAxAAxalal画出振型图，就是各点的振幅。1阶'111sinxUxAl'11,22llxUA2阶'2222sinxUxAl'222'22,0,224433,44llllxUxUAllxUA，显然第n个振型有n-1个节点。对每一阶主振动都求出一个固有频率，对第n阶主振动有',sinsinnnnnnuxtAxtl系统的自由振动是n阶主振动的叠加'1,sinsinnnnnnuxtAxtl其中'nB与n由初始条件确定。4.1.3两端自由0,0xxluxtx，也就是，00xxldUdx''sincosUxAxBxaa'''cossinUxAxBxaaaa'''000UAAa''sin0UlBlaa'B不恒为零，所以sin0lasin0,0,1,2...llnnaannal代入振型函数为''coscosnnnnnUxBxBxal对应的第n阶主振动为',cossinnnnnnuxtBxtl注意：可以为零，与两端固定不同，当0时'nUxB，意味着各点振幅完全一样，对应杆的纵向刚性位移。4.2圆轴扭转假设:1）每一横截面，绕通过截面形心的轴线转动一个角度，截面保持平面;2）截面上每一个点都转动相同的角度。扭转振动位移用表示。由材料力学可知tpMGJxG——剪切弹性模量，pJ——截面的极惯性矩由达朗贝尔原理220tttpMMdxMJdxxt2222ppGJJxt2222222Gatxxa——剪切波在杆内传播速度边界条件：1）固定端,0,0,xtx转角为零2）自由端,0,0,xtxx扭矩为零（3）弹性支承,,ktGJptX(4)右端有一惯性圆盘，则有22,,oJtJpdttxoJ圆盘对称轴转动惯量4.3梁的弯曲振动4.3.1梁的横向振动微分方程研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比10），有纵向对称平面。振动运动过程中，假设：1）梁的轴向位移可以忽略2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略3）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形中截面上的x点，取微元段为M(x,t),Q(x,t)(,)(,)QQxdxtQxtdxx(,)(,)QMxdxtMxtdxx外载：(,)qxt为分布载荷，在一个微段内可假设为均匀分布的，即可化为(,)qxtdx惯性力：已知单位长度的质量mxAxx，则微元段上的惯性力为22,,yxtmxdxfxtt，且在微段上可认为惯力是均布的。外载和惯性力均可认为是作用在中点上达朗贝尔原理：(,)(,)((,))(,)0QQxtqxtdxQxtdxfxtx22(,)(,)()()(,)QqxtdxdxfxtxQyxAxqxtxt(,)MQxtx,22,,yxtMxtEIxx222222()()()(,)yyEIxxAxqxtxxt4.3.2梁的自由振动分析42420yyEIAxt24240yEIytAx,242240yyatx采用分离变量的求解思路,,yxtYxTt2222()ydTYxtdt4444()ydyTtxdx242421adydTYxdxTtdt242240dTdyYxaTtdtdx242242adYdTYdxTdt2220dTTdt自由振动的解为：()sin()iTtCt42444240dYdYYkYdxadx()sin()cos()()()YxAkxBkxCshkxDchkx(,){sin()cos()yxtAkxBkx()()}sin()CshkxDchkxt六个任意数由初、边界条件决定.典型边界条件:（1）简支（铰支）点简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：,0,0Yxtx或22,,0,0yxtMxtEIxx或(2)固支点固支点处转角、位移均被锁住，为零,0yxt,0yxtx0x或（3）自由端力与力矩均为零220yMEIx0,x330MyQEIxx0,x（4）梁端有弹性支承弹性梁端剪力等于弹性恢复力,弹性恢复力与位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,梁端弯矩为零.33,,yEItkytx,22,0yEItx梁端弯矩与弹性恢复力矩大小相等，但由于前图是梁右端，端部弯矩方向是规定的正向（转角位移的正向，逆时针），而恢复力矩与转角位移正向相反，所以22(,)(,)yyEIltkltxx梁端剪力为零330yEIx（5）梁端有集中质量力梁端弯矩为零22,02YtEIx梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移正向相反，所以二者同号3232,,yyEItMtxt对位移或转角施加的约束称为几何边界条件。对剪力和弯矩施加的约束称为力边界条件。前三种称为基本边界条件，后两种为非基本边界条件。4.3.2两端固定(,){sin()cos()yxtAkxBkx()()}sin()CshkxDchkxtcossinsinyAkkxBkkxCkchkxDkshkxtx0,sin0,sincossin00,sin0,cossinsin0ytBDtytAkBkCshkDchktytAKCKtxytkAkBkCchkDshktxB+D=0,A+C=0将B=-D,A=-C代入另两个方程得到：(sin)(cos)0(cos)(sin)0shklkCchklklDchklklCshklklDC,D不能同时为零，则有sincos0cossinshkkchkkchkkshkk注意到221chxshx，则上式变为cos1kchk这是一个频率方程，其中k=0的解对应于静止状态。超越方程的数值解或作图法，得一系列ik的值i12345iikl4.737.85310.99614.13717.279222iiiiikkaaa221iEIlA回代可求C与D比值为cossiniiiiichkkCDshkksincosiiiiishkkchkk代入解的表达式有,sincossiniiiiiiiyxtCshkxkxDchkxkxtsincossiniiiiiiiiDshkxkxchkxkxtiYxiYx为梁上第x点的振幅，称为第i阶振型函数i称为第i阶固有频率,,iyxt第i阶主振动4.4板的横向自由振动本节讨论的板为弹性薄板，其变形为小变形（微振动），因此要满足薄板小变形的一切假设，如直法线假设等。4.4.1矩形板的横向自由振动如图所示一等厚度矩形薄板，其厚度为h，边长各为a和b。对应坐标轴x，y，z方向的位移为u，v，w。根据弹性理论知，矩形板的平衡方程为4444224,2qxy或简写为22,wqxyD其中22222()xy——微分算子；,qxy——作用在板表面上的垂直分布载荷的分布集度；32121EhD——板的弯曲刚度；E、——材料的弹性模量和泊松系数。当板作自由振动时，在板上没有外加载荷，但是根据达朗贝尔原理，我们可以将板振动时的惯性力当作外加载荷，这样仍可用平衡方程.板单位面积上的惯性