第十一次课第四章连续体的振动

第四章连续体的振动拉格朗日（J.L.Lagrange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.leR.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．•实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。•由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。•连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。•在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1弦的振动T(,)qxt讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)qxtyxdxxdmAds第四章连续体的振动qdx22yAdxtdxxdxTT设弦的密度为（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即(,)yyxt22()()dmAdsAdxdyAdx(,)(,)yxtxttgxy[,]xxdx沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)xtTxtdxTxtqxtdxxxtTdxqxtdxx根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds沿y方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)yxtxtAdxTdxqxtdxtx(,)(,)yxtxtx代入得：2222(,)(,)(,)yxtyxtATqxttx22222(,)(,)1(,)yxtyxtcqxttxATcA设代入得：C为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()nyxtYxHtYxt如无干扰力作用时，22222(,)(,)yxtyxtctx称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Yx为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nnnyxtYxttyxtdYxtxdx得2222()()sin()sin()nnndYxYxtctdx()sincosnnYxAxBxcc(,)(sincos)sin()nnnyxtAxBxtcc2222()()0ndYxYxdxc故,,,nAB4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。l(0,)0yt(,)0ylt由于两端固定，故有0(0)sin()nBt0(sincoscos)sin()nnnAlBltccjcjjTllA()sinsinjjjjjYxAxAxcl(,)sinsin()jjjjjyxtAxl0sin0nBAlc得0Asin0nlc则(1,2)nljjc得1(,)sinsin()jjjjjyxtAxtl22222(,)(,)1(,)yxtyxtcqxttxAl(,)qxt受迫振动对于长为的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分方程为：()sinjjYxAxl振型函数1jA令()sinjYxxl则有(,)sin()()jjyxtxHtl设其解为1(,)sin()()jjjyxtxHtl代入方程222211()1sin()()sin()()(,)jjjjdHtjjjxcxHtqxtldtllAsin()mxl0lx到对进行积分，将上式两边同乘以并从2mcml02()(,)sinlmmQtqxtxdxAll0()sin()sin()20()lljmjmxxdxlljm得：222()()()mmmmdHtHtQtdt整理后得到：01()cossin()sin()lmmmmmmmmHtCtDtQtd1,2m其通解为：讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积S材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力杆参数：§4.2杆的纵向振动),(txu杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移微段分析),(txplx0xdxdxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：xudxudxxuu)(横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22§4.2杆的纵向振动),(txu杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移),(txplx0xdx横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：杆的纵向强迫振动方程对于等直杆，ES为常数),(1222022txpSxuatu/0Ea弹性纵波沿杆的纵向传播速度有：§4.2杆的纵向振动•固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：),(1222022txpSxuatu纵向自由振动方程：222022xuatu/0Ea假设杆的各点作同步运动，即设：)()(),(tqxtxuq(t)表示运动规律的时间函数)(x杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅代入，得：)()()()(20xxatqtq),(txplx0§4.2杆的纵向振动)()()()(''20xxatqtq记：20)()()(0)()(202xaxtqtq)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）,,21cc由杆的边界条件确定与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个i（下面讲述）§4.2杆的纵向振动第i阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应)2,1(),sin()(),()(itxatxuiiiiiφ系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sin(),(iiiiitatxu§4.2杆的纵向振动几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：0)()0(),0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零)(tq0)0(0)(l故：0201cossin)(axcaxcx代入模态函数02c得：0sin0al（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：),2,1,0(,0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：lxicxiisin)(),2,1,0(ilx0§4.2杆的纵向振动（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：0),0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu0)0(得：0)(llxicxiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同),2,1,0(i固有频率：),2,1,0(,0ilaii模态函数：01c得出：0cos0allx0§4.2杆的纵向振动（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：0),(xtluES)()(),(tqxtxu得：0)0(0)(l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：0),0(tu模态函数：,...2,1,)212(ilaii,...2,1),212sin()(ixlicxiilx0连续系统的振动/杆的纵向振动或：,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：0),0(xtuES)()(),(tqxtxu得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：0),(tlu模态函数：lx0,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii§4.2杆的纵向振动边界条件0)(l0)0(0cos0al模态函数lx0,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)(l0cos0al频率方程固有频率,...5,3,1,2ilaii,...5,3,1),2sin()(ixlicxii§4.2杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。lx0k§4.2杆的纵向振动解：边界条件：lx0k0),0(tu),(),(tlxuEStlku(,)()()uxtxqt1200()sincosxxxccaa0)0(),()(tlxESlk得出：02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程振型函数：xacxii0sin)(§4.2杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。Mlx0边界条件：0),0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推导！§4.2杆的纵向振动主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数杆的动力方程：),()(22txpxuESxtuS自由振动：)(22xuESxtuS主振动：)sin()(),(taxtxuSES2)(代入，得：§4.2杆的纵向振动SES2)(杆的简单边界：固定端0)(xx=0或l0)(xES自由端x=0或l设：)(xii)(xjj代入：iiiSES2)(jjjSES2)()(xj乘并沿杆长对x积分：lljiiijdxSdxES002)(利用分部积分：dxESESdxESjlliliiij000)()(00杆的任一端上总有或者成立ljl