第十三次课第四章连续体的振动

例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行yx0系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2§4.4梁的弯曲振动yx0频率方程：1coshcosll模态函数：2024aSEIa20其中：),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,1(,sinhsincoshcossinhsincoshcosilllllllliiiiiiiii当i=1,2,3时解得：730.41l853.72l996.103l3i当时),4,3(,)21(iili自由端：弯矩和截面剪力为零0)0(0)0(0)(l0)(l0i当时00l对应刚体模态§4.4梁的弯曲振动第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。yx0l§4.4梁的弯曲振动yx0l解：0),(]),([222222ttxySxtxyEIx梁的自由振动方程：边界条件0),0(ty0),0(ty固定端：自由端：0)0(0)0(0),(tly0),0(ty0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(43212024aSEIa20模态函数：§4.4梁的弯曲振动yx0l0)0(0)0(0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(43210)0(031CC13CC0)0(042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC§4.4梁的弯曲振动0coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解条件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC频率方程：0sincoshsinhcosllll求得：352.13,210.10,069.7,927.34321llll对应的各阶模态函数：),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：),2,1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii§4.4梁的弯曲振动yx0l第一阶模态：),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二阶模态：0.560069.7927.321ll§4.4梁的弯曲振动例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件0)0(0)0(固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：),(),(222tlykxtlyEIxxtlykxtlyEI),(),(122剪力平衡条件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI)()(2lklEI§4.4梁的弯曲振动xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(43210)]cosh(cos)sinh(sin[)]sinh(sin)cosh(cos[1211llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0(0)0(固定端：弹性支撑端：)()(1lklEI)()(2lklEI由固定端条件解得：4231,CCCC由弹性支撑固定端条件解得：0)]sinh(sin)cosh(cos[)]cosh(cos)sinh(sin[232231llkllEICllkllEIC或21CC、非零解条件导出频率方程：0)]cosh(cos)sinh(sin[)]sinh(sin)cosh(cos[1211llkllEICllkllEIC0)]sinh(sin)cosh(cos[)]cosh(cos)sinh(sin[232231llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132kllllEIkll（1）若k1、k2同时为零，则退化为悬臂梁的情形2kx0y1kl讨论：01coshcosllx0y)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132kllllEIkll（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形2kx0y1kl讨论：0coshsinsinhcosllllx0yl例：悬臂梁自由端附有质量yx0l0m求频率方程解：0)0(0)0(固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡0)(lEI)()(20lmlEI利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllllmm0为集中质量与梁质量之比Slm为梁质量说明：•以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）•若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低模态函数的正交性0),(),(2244ttxySxtxyEI梁若为等截面，则：0),(]),([222222ttxySxtxyEIx变截面梁的自由振动方程：主振动：)sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：0)(2SEI设：)(xii)(xjjjjjiiiSEISEI22)()(有：0)(2SEIjjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式两边乘并沿梁长对x积分：利用分部积分：lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零lljiijdxEIdxEI00)(得：lljiijidxSdxEI002ljiilijdxSdxEI020)((3)代入（3）式，有：i(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相减：得：jidxSlji,00jiji如果时，则有：主振型关于质量的正交性jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式两边乘并沿梁长对x积分：ljiilijdxSdxEI020)(分部积分：lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(lljiijdxEIdxEI00)(得：lljiijidxSdxEI002代入（3）式，有：i(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相减：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：jidxEIdxEIlljiij,0)(00主振型关于刚度的正交性如果i=jljijidxS0220)(恒成立lpjjmdxS02第j阶主质量pjlljjjkdxEIdxEI002)()(第j阶主刚度第j阶固有频率pjpjjmk/jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式两边乘并沿梁长对x积分：ljiilijdxSdxEI020)(分部积分：lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(lljiijdxEIdxEI00)(得：lljiijidxSdxEI002代入（3）式，有：i(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，lljijjidxSdxEI002相减：得：(3)（4）（5）lpjjmdxS02第j阶主质量pjlljjjkdxEIdxEI002)()(第j阶主刚度第j阶固有频率pjpjjmk/ljidxS000)(00lljiijdxEIdxEIji时ji时主振型中的常数按下列归一化条件确定：102pjljmdxS正则振型lijjidxS0200)(jijlljiijdxEIdxEI正则振型的正交性：梁横向振动的受迫振动响应梁的横向强迫振动方程：),(),()(222222txmxtxftySxyEIx1)()(),(iiitqxtxy令：11),(),()(iiiiiitxmxtxfqSqEI代入：j两边乘并沿梁长对x积分：ljililjiiijidxtxmxtxfdxSqdxEIq01010)],(),([)(由正交性条件，得：)(2tQqqjjjj第j个正则坐标方程ljjdxxtxmxtxftQ0)()],(),([)(第j个正则坐标的广义力由分部积分：dxtxmtxftQljjj0]),(),([)(梁初始条件的处理)()0,(1xfxy)(20xftyt假定梁的初始条件为：1)()(),(iiitqxtxy代入：)0()()()0,(11iiiqxxfxy两式乘)(xSj并沿梁长积分，由正交性条件可得：ljjdxxxSfq01)()()0(tjjjjjjjjjdtQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(120)0()(