7-弹性体振动

第7章弹性体振动1第7章弹性体振动第7章弹性体振动2当振动系统不能简化为有限个独立广义坐标表示的运动方程时，就必须按照连续系统进行分析。有些物理现象，只能用连续系统的模型才能清晰地描述。离散系统的数学特征是用常微分方程来描述;而连续系统则必须用偏微分方程来描述。7.1引言7.1引言第7章弹性体振动3同一振动系统可以简化为离散系统和连续系统两种数学模型，连续系统的数学模型可从相应的离散系统当自由度无限增多时的极限过程得到。多自由度系统线性振动的一些重要性质和分析方法，可以推广到连续系统中。7.1引言第7章弹性体振动47.2弦的振动设弦长度为l，单位长度的质量为r，轴向拉力为T，以变形前弦的方向为x轴，横向挠度u(x,t)设为小量。对于长度为dx的微元体有22sinsinudxTdxTtxr7.2弦的振动TTu第7章弹性体振动5微振动时sintanuxsinsincoscossinsindxxdxdxxxdxx并有7.2弦的振动第7章弹性体振动6则22222(,)(,)uxtuxtctx令Tcr弦的振动方程，在数学上称为一维波动方程。7.2弦的振动则方程变为2222(,)(,)uxtuxtdxTdxtxr第7章弹性体振动77.4杆的纵向振动7.4杆的纵向振动假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为p，它们均依赖于坐标x。第7章弹性体振动8pr在x处取微段dx，画出该微段的分离体图，则运动方程为22uAdxtppdxpfdxxr即22upAftxr7.4杆的纵向振动ppdxx第7章弹性体振动9应用材料力学中轴向力与轴向变形的关系式得到杆的纵向强迫振动方程upAEAx22(,)()(,)()(,)uxtAxtuxtEAxfxtxxr（0xl）7.4杆的纵向振动第7章弹性体振动10若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由振动方程22(,)(,)()()uxtuxtAxEAxtxxr对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、A均不依赖于x，自由振动方程简化为22222(,)(,)uxtuxtctx7.4杆的纵向振动第7章弹性体振动11其中c的量纲与速度的量纲相同。显然上述方程也是一维波动方程，c是纵波的传播速率，它等于声波以杆的材料为介质的传播速率。Ecr7.4杆的纵向振动第7章弹性体振动127.5轴的扭转振动假设振动过程中每一横截面绕截面形心轴转动的角度作为广义坐标，横截面保持为平面，横截面上每一点的位移由唯一确定，扭转角是空间坐标和时间的函数。7.5轴的扭转振动第7章弹性体振动13在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩为T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为J。微段的自由振动方程22TJdxTdxTtx即22TJtx7.5轴的扭转振动第7章弹性体振动14代入得PTGJx2221pJrdmrdArdAJrrr设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭转中心的极惯性矩，r为体积密度。扭矩T与扭转角的关系可从材料力学中得到7.5轴的扭转振动注意到22pJGJtxx第7章弹性体振动15当GJp为常量时，方程可写成（0xl）22222(,)(,)xtxtctx其中上述方程也为一维波动方程，c是扭转波的传播速率。Gcr7.5轴的扭转振动第7章弹性体振动16多自由度系统的固有振动，振动形态(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，各广义位移均随时间同步变化，同时通过平衡位置，同时达到最大值。对于连续体的波动方程，也假设具有同样的特征，因此可假设系统具有分离变量形式的解：(,)()()uxtxqt7.3时间与空间变量的分离7.3时间与空间变量的分离第7章弹性体振动17代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）22()()()()()()dqtddxAxxEAxqtdtdxdxr221()1()()()()()dqtddxEAxqtdtAxxdxdxr即22(,)(,)()()uxtuxtAxEAxtxxr可得到7.3时间与空间变量的分离第7章弹性体振动18上式右端只依赖于空间变量x，而左端仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等于同一常数，记作－w2，并假设为均匀杆，则得到下面两个独立方程：222()()0dqtqtdtw7.3时间与空间变量的分离2222()()0dxxdxcw第7章弹性体振动19两个方程的解为()sincosqtCtDtww这里：(x)称为系统的固有振型，w为固有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条件确定。固有振型(x)有一个常数因子不能确定，这和多自由度系统的情形一样。7.3时间与空间变量的分离()sincosxAxBxccww第7章弹性体振动20固有振型和固有频率固有振型和固有频率一维波动方程必须与指定的边界条件及初始条件一起才能构成定解问题。和多自由度一样首先需要确定固有频率和振型。以杆的纵向振动为例，给出常见的几种边界条件。（1）两端固定：两端的轴向位移均等于零，边界条件为(0,)0,(,)0utult第7章弹性体振动21（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，边界条件为0(,)(,)()0,()0xxluxtuxtEAxEAxxx（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向力等于弹簧力，边界条件为(0,)0ut(,)()(,)|xlxluxtEAxkuxtx固有振型和固有频率第7章弹性体振动22（4）左端固定，右端集中质量m：右端的轴向力等于惯性力，边界条件为还可以具有其他的边界条件。通过边界条件就可以确定它们所描述的系统的固有频率与固有振型。(0,)0ut22(,)(,)()xlxluxtuxtEAxmxt固有振型和固有频率第7章弹性体振动23【例l】求长为l的均匀杆两端固定时的纵向振动固有频率与固有振型。解:两端固定杆的边界条件为u(0,t)=u(l,t)=0即(0)=(l)=0代入特征解得0,sin0lBAcw固有振型和固有频率()sincosxAxBxccww第7章弹性体振动24A不能等于0,因此必须满足此式称为频率方程。由此可以解得系统无穷多个可数的固有频率sin0lcw(1,2,)iiciEillwr与wi对应的固有振型为()()sinsin(1,2)iiiixixxAAiclw固有振型和固有频率第7章弹性体振动25从固有振型的表达式可以看出，在,(1,21)ixnlnxnili即的点上(i)(x)=0。系统作固有振动时，这些点是不动的，这样的点称为节点。第i阶固有振动具有i－1个节点，这是带有普遍性的规律。固有振型和固有频率第7章弹性体振动26【例2】左端固定，右端自由的均匀杆长度为l，在自由端带有集中质量M，求该系统纵向振动的固有频率与固有振型。解:左端固定端杆的边界条件为u(0,t)=0，即(0)=0，得B＝0而右端的轴向力等于集中质量的惯性力，边界条件为利用22(,)(,)xlxluxtuxtEAMxt(,)()(sincos)uxtxCtDtww固有振型和固有频率第7章弹性体振动27得关于固有振型的边界条件2()()EAlMlwΦΦ代入特征解及B＝0，得频率方程tan其中,AllEMrrw固有振型和固有频率()sincosxAxBxccww第7章弹性体振动28频率方程tan＝是超越方程，其解必须用数值方法或查表得到。当依次计算出正根i(i＝1,2,…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型:iiicEllwr()()siniiixxAl固有振型和固有频率第7章弹性体振动29讨论：（1）MrAl时，频率方程变为tan根为(21),(1,2)2iii固有频率与相应的固有振型为(21),2iiciEllwr()(21)()sin2iiixxAlΦ这就是左瑞固定右端自由的均匀杆在自由端不带集中质量时的固有频率与固有振型。固有振型和固有频率第7章弹性体振动30（2）MrAl时，很小，也很小，频率方程变为2tanAlMr固有频率为cEAlMlw这表明：若不计杆的质量，可视为一个无质量的，刚度为EA/l的弹簧，连接质量为M的单自由度振动系统。固有振型和固有频率第7章弹性体振动31T7-8一杆右端固定，左端附有一集中质量M，在M上受到弹性系数为k的弹簧和阻尼系数为c的粘性阻尼约束，试写出杆纵向振动的边界条件。解:右端固定，杆的边界条件为u(l,t)=0，即(l)=0；而左端的轴向力等于集中质量的惯性力+弹性力+阻尼力，则边界条件为2200(,)(,)(,)(,)xxuxtuxtuxtEAMkuxtcxtt固有振型和固有频率第7章弹性体振动32得边界条件22(0)()()()(0)(0)()(0)dEAqtdxdqtdqtMkqtcdtdtΦΦΦΦ利用(,)()()uxtxqtΦ作业：T7-3固有振型和固有频率第7章弹性体振动33振型函数的正交性一维波动方程振型函数的正交性和离散系统类似，一维波动方程的振型函数也有正交性。以杆的振动为例，第i，j阶振型函数满足2iiiddEAAdxdxwr2jjjddEAAdxdxwr第7章弹性体振动34振型函数的正交性分别用j，i左乘上式两端，并积分020lijlijiddEAdxdxdxAdxwr00020[]lljliijjiljijddEAdxEAEAdxdxdxAdxwr00[]lljiijEAEAdx第7章弹性体振动35振型函数的正交性考虑杆端为固定或自由的情况，此时0[]0ljiEA220()0lijijAdxwwr两式相减得：即：00lijAdxri＝j时：0liiiAdxMr第7章弹性体振动36振型函数的正交性利用前面的式子知则：i＝j时：200llijijiddEAdxAdxdxdxwr00lijddEAdxdxdx2200lliiiiiiiddEAdxAdxMdxdxwrw第7章弹性体振动37一维波动方程的响应求解一维波动方程的响应求解1.振型叠加法和离散系统类似，一维波动方程的响应求解也用振型叠加法1(,)()()iiiuxtxqt2.标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化01liiiAdxMr第7章弹性体振动38一维波动方程的响应求解3.对初始激励的响应设初始条件为00(,)()tuxtuxt0(,0)()uxux将其按标准振型展开001(,0)()iiiuxuxqΦ001(,0)()iiiuxuxqΦ第7章弹性体振动39一维波动方程的响应求解用rAj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应00001(,0)lljijijiAuxdxqAdxqrrΦΦΦ00001(,0)lljijijiAuxdxqAdxqrrΦΦΦ00()cossiniiiiiiqqtqtt第7章弹性体振动40一维波动方