函数的概念

1.2.1函数的概念一、问题导入2.在初中，我们已经学习了函数的概念，那么初中函数的定义是什么？xyxyyxxy设在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个值,都有唯一的值与它对应.那么就说是的函数.其中叫做自变量,是函数值.1.初中学过哪些函数？其函数解析式分别是什么？2(0)(0)  (0).ykxbkyaxbxcakykx一次函数：＝＋；二次函数：＝＋＋；反比例函数：4.我们如何从集合的观点来认识函数？3.联想刚学过的集合，初中的函数定义中两个变量属于一个什么集合呢？同理，其定义中的的“变化过程”我们可以用集合与集合之间的一种什么关系来描述呢？二、探索新知思考1：时间t的变化范围是什么？炮弹距地面的高度h的范围是什么？试用集合表示？思考2：试画出函数的图像，并检验26s后炮弹是否落地？并求出什么时间炮弹距地面最高？这个最大高度与射高是否相等？思考3：在集合A中取任意一个值t，按照对应关系，集合B中有几个元素与它对应？A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}25130tth实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落地击中目标，炮弹射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间变化的规律是25130tth实例2近几十年来，大气层中的臭氧层迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，图1.2-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979——2001年的变化情况.dot-dot-dashinterval2001199919971993199119891987198319811977t/年S/106Km2262520151050思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？思考3：试比较这里表示函数关系的方式与上例有什么区别？说出其优点和缺点.实例3国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表1—1中恩格尔系数随时间变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著的变化.时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民恩格尔系数%53.852.950.149.449.948.646.444.541.939.237.9思考1：时间t的变化范围是什么？城镇居民恩格尔系数的变化范围是什么？思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？思考3：这里表示函数的方式与前两例又有什么区别呢？说出其优点和缺点.思考1：归纳三个实例，它们有什么共同点？ .AxfByfAB三个实例中，变量之间的关系可以描述为：对于数集中的每一个，按照某种对应关系,在数集中都有唯一确定的和它对应,我们把这种关系也记作：三、知识探究（一）（一）函数的有关概念定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A。定义域:x的取值范围A叫做函数的定义域;与x值相对应的y值叫做函数值。值域:函数值的集合BAxxf)(叫做函数的值域。思考2：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.)(xfy)(xf函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数课本第19页第2题（二）已学函数的定义域、对应关系和值域1.常数函数baxxf)()0(a2．一次函数4．二次函数:xkxf)()0(k3．反比例函cbxaxxf2)()0(a)()(Raaxf)(xf=x+3求：f(-1),f(a),f(x+1),f()，f(x2),f(f(x)),例1、已知：x1注意：)(xfy1在中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。)(xf)(af2与是不同的，前者为变数，后者为常数。（三）、区间的概念思考：设a、b是两个实数，且ab，介于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？规定：bxa（1）满足不等式的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b];（2）满足不等式bxa的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b)；（4）满足不等式bxa的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；的实数（3）满足不等式bxa的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；2、实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x≥a,xa,x≤b,xb的实数x的集合分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。说明：1、对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]数a和数b都称为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点；(四)关于求定义域及函数的值:213)(xxxf)32(),3(ff例2、已知函数(1)求函数的定义域(2)求的值(3)当a0时，求f(a),f(a-1)的值。问题：函数f(x)=3x2+2x+1与函数f(n)=3n2+2n+1一样吗？1()(12)(1)fxxx()42fxxx0)1(211)(xxxxf－例3、求下列函数的定义域。（1）(2)；(3)例4，已知函数，则函数的定义域是。11)(xxf)]([xff例5，已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(2x-1)的定义域是。变式;已知函数f(3x+2)的定义域是[0,2],则函数f(x)的定义域是。注意：无论是函数f(x),还是函数f[f(x)],其定义域都是指使函数有意义的x的取值范围。小结(关于求定义域):（1）分母不为零；偶次根式不小于零；零次幂底数不为零;每个部分有意义的实数的集合的交集bax,)(xgfbxga)(（2）抽象函数定义域：①已知f(x)的定义域为,则函数的定义域应由不等式解出。②已知f[g(x)]的定义域为dcx,,则函数f(x)的定义域应由不等式dxc求出g(x)的取值范围，即是f(x)的定义域。（2）若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围。)(xfy)41()41(xfxfy(1)若函数的定义域为[1，1]，的定义域。求函数练习3．关于求值域：例1、求下列函数的值域1、y=3x+2(-1≤x≤1)2、21,{1,2,3,4,5}yxx；3、y=)1(1xx4、201yxx5、y1xx6、y2211xx7、yx18、y322xx9、y322xx5(≤x≤2）10、y12xx练习求下列函数值域（1）1yx（2）221yxx（3）2(23)yxx（4）2211xyx（5）21yxx（6）y=xx3121小结求值域问题：1，一次函数求值域，直接求不等式。如①2、反比例型函数求值域，常数分离法。如④3、带根号函数求值域，注意，进而求出f（x）的取值。0.......（五）函数的三要素判断同一函数：对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。当有解析式时只要定义域与解析式一样即可xy2)1(xy33)2(xy2)3(xyxxy2)4(例4、下列函数中哪个与函数是同一个函数？3)5)(3(1xxxy52xy111xx②y)1)(1(2xxy21)52()(xx③f52)(2xxf练习、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①④y1=1y2=x0三、小结：1．函数的定义2、函数的值：4、函数的三要素判断同一函数：3、关于求定义域和值域；四、作业P24A1、3做作业本上第三题只求值域，不需要画图练习•P19•P24A组2、6•B组11.2.2函数的表示法第一课时一、问题导入1.从集合与对应的观点分析，函数的定义是什么？设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.2.函数有哪几种常用的表示法？（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.（2）图象法：就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系.（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3.谈谈几种函数表示法各自的优缺点.思考2：该函数用列表法怎样表示？笔记本数x12345钱数y510152025     1,2,3,4,5?xxy5某种笔记本的单价是元，买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.例1二、探索新知思考1：该函数用解析法怎样表示？5,{1,2,3,4,5}yxx思考3：该函数用图象法怎样表示？1345．．．．02515202510xy．思考4：是不是所有的函数都可以用三种表示法来表示？例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.第一次第二次第三次第三次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6思考1：上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}.......▲▲▲▲▲▲■■■■■♦♦♦♦♦♦王伟■张城班平均分赵磊123456060708090100xy思考2：上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？思考3：若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？思考4:试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋，表明他的数学成绩在稳步提升.例3研究y=|x|的特点.思考2：该函数用解析法怎样表示？,0,0.xxyxx≥，思考1：y=|x|是否为函数？若是，函数的定义域是什么？值域是什么？思考3：该函数用图象法如何表示？-2-3123xy12345-10例4某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里.思考1：里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？思考2：该函数用解析法怎样表示？设里程为x公里，票价为y元，则2,0535xxyxx≤，，5≤10，4，10≤1，5，15≤20.思考3：该函数用图象法怎样表示？○○○○0510152012345xy思考4：该函数用列表法怎样表示？里程x（公里）（0，5]（5，10]（10，15]（15，20]票价y（元）2345思考5：上面的函数和例3中的函数都称为分段函数，一般地，分段函数的解析式有什么特点？试举例说明.3,03,()4,34,2,4(1)1344()(2)()7(3)(2)()(5)((2))2xxfxxxxfxfxfffff≤函数=≤≥，点，和，在函数的图象上吗？求函数的定义域和值域求，，，。例222,()3,24,()2,8,.xxfxxxfaxxa≤-2，已知函数若≥4，求实数的值例3五、作业习题1.2A组第3，4，8，