直线的参数方程练习题有答案

直线的参数方程1.设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线l的参数方程是____________．解析：直线l的参数方程为x＝2＋tcos56π，y＝－4＋tsin56π(t为参数)，即x＝2－32ty＝－4＋12t，(t为参数)．答案：x＝2－32ty＝－4＋12t，(t为参数)2.设直线l过点(1，－1)，倾斜角为5π6，则直线l的参数方程为____________．解析：直线l的参数方程为x＝1＋tcos5π6y＝－1＋tsin5π6，(t为参数)，即x＝1－32ty＝－1＋12t，(t为参数)答案：x＝1－32ty＝－1＋12t，(t为参数)3.已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.写出直线l的参数方程；解：①直线l的参数方程为x＝1＋32ty＝1＋12t，(t是参数)．4.已知直线l经过点P12，1，倾斜角α＝π6，写出直线l的参数方程.[解](1)直线l的参数方程为x＝12＋tcosπ6y＝1＋tsinπ6，(t为参数)，即x＝12＋32ty＝1＋12t，(t为参数).2分5.已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)．点M在直线上，则直线l的参数方程为____________．解析：∵直线的斜率为－1，∴直线的倾斜角α＝135°.∴cosα＝－22，sinα＝22.∴直线l的参数方程为x＝2－22ty＝－1＋22t，(t为参数)．答案：x＝2－22ty＝－1＋22t，(t为参数)6.已知直线l：x＝－3＋32ty＝2＋12t，(t为参数),求直线l的倾斜角；解：(1)由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)表示过点M0(－3，2)且斜率为tanπ6的直线，故直线l的倾斜角α＝π6.7.若直线的参数方程为x＝3＋12ty＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为()A.3B．－3C.33D．－33解析：选B.直线的参数方程x＝3＋12ty＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式x＝3＋－12（－t）y＝3＋32（－t），(－t为参数)．∴直线的斜率为－3.8.化直线l的参数方程x＝1＋3t，y＝3＋6t(t为参数)为参数方程的标准形式．解：由x＝1＋3t，y＝3＋6t，得令t′＝32＋（6）2t，得到直线l的参数方程的标准形式为x＝1＋155t′y＝3＋105t′，(t′为参数)．9.化直线l的参数方程x＝2－3ty＝1＋t(t为参数)为参数方程的标准形式．解：10.已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.①写出直线l的参数方程；②设l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．解：①直线l的参数方程为x＝1＋32ty＝1＋12t，(t是参数)．②把直线l的参数方程x＝1＋32t，y＝1＋12t代入圆x2＋y2＝4，整理得t2＋(3＋1)t－2＝0，t1，t2是方程的根，t1·t2＝－2.∵A，B都在直线l上，设它们对应的参数分别为t1和t2，∴|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝2.11.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθy＝2＋4sinθ，(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：x＝3＋12ty＝5＋32t，(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.12.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝－1＋4ty＝3t，(t为参数)，则直线l与曲线C相交所截得的弦长为________．解析：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，将x＝－1＋4ty＝3t，代入x2＋y2＝1中得25t2－8t＝0，解得t1＝0，t2＝825.故直线l与曲线C相交所截得的弦长l＝42＋32·|t2－t1|＝5×825＝85.答案：8513.已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长度．解：因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为π4.椭圆x24＋y2＝1的右焦点为(3，0)，直线l的参数方程为x＝3＋22ty＝22t，(t为参数)，代入椭圆方程x24＋y2＝1，得3＋22t24＋22t2＝1，整理，得5t2＋26t－2＝0.设方程的两实根分别为t1，t2，则t1＋t2＝－265，t1·t2＝－25，|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝－2652＋85＝85，所以弦长AB的长为85.14.已知直线l经过点P12，1，倾斜角α＝π6，圆C的极坐标方程为ρ＝2·cosθ－π4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．[解](1)直线l的参数方程为x＝12＋tcosπ6y＝1＋tsinπ6，(t为参数)，即x＝12＋32ty＝1＋12t，(t为参数).2分由ρ＝2cosθ－π4得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为x－122＋y－122＝12.5分(2)把x＝12＋32t，y＝1＋12t代入x－122＋y－122＝12，得t2＋12t－14＝0，7分设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－14，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝14.10分15.(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθy＝2sinθ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得(1＋12t)2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－167.所以AB＝|t1－t2|＝167.16.直线x＝2＋3ty＝－1＋t，(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是()A．1B.10C．10D．22解析：选B.将t＝0，t＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)∴d＝（2－5）2＋（－1－0）2＝10.17.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：x＝－2＋22ty＝－4＋22t，(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcosθ，化为直角坐标方程为y2＝2ax，直线x＝－2＋22ty＝－4＋22t，(t为参数)化为普通方程为y＝x－2.(2)将x＝－2＋22ty＝－4＋22t，代入y2＝2ax得t2－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.则有t1＋t2＝22(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝t1·t2，即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0，故8(4＋a)2－40(4＋a)＝0，解得a＝1或a＝－4(舍去)．故所求a的值为1.18.已知直线l1：x＝1＋3ty＝2－4t，(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，且点A(1，2)，则|AB|＝________．解析：将x＝1＋3ty＝2－4t，代入2x－4y＝5，得t＝12，则B52，0.而A(1，2)，得|AB|＝52.答案：5219.如图所示，已知直线l过点P(2，0)，斜率为43，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：①P，M间的距离|PM|；②点M的坐标解：①由题意，知直线l过点P(2，0)，斜率为43，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝43，cosα＝35，sinα＝45，∴直线l的参数方程的标准形式为x＝2＋35ty＝45t，(t为参数)．(*)∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×500.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝158，t1t2＝－254.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝t1＋t22＝1516.②因为中点M所对应的参数为tM＝1516，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得x＝2＋35×1516＝4116，y＝45×1516＝34，即M4116，34.20.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为x＝12＋tcosαy＝tsinα，(t为参数，0απ)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：(1)由ρ＝2cosθsin2θ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)将直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－2tcosα－1＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2cosαsin2α，t1·t2＝－1sin2α，所以|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4cos2αsin4α＋4sin2α＝2sin2α，当α＝π2时，|AB|取得最小值2