2011第十二次课费马点及拓展

费马点王佳阳七（三）作者介绍•法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．•定义•1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。•（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）•2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。•4费马点的证明•三角形费马点•如右图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。•以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD•∵旋转60°，且BD=BP，•∴△DBP为一个等边三角形•∴PB=PD•因此，PA+PB+PC=DE+PD+PC•由此可知当E、D、P、C四点共线时，为PA+PB+PC最小•若E、D、P共线时，•∵等边△DBP•∴∠EDB=120°•同理，若D、P、C共线时，则∠CPB=120°•∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点•四边形费马点•平面四边形中费马点证明相对于三角形中较为简易，也较容易研究。•（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。•（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。•平面四边形费马点证明图形•经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。另一种更为简捷的证明：设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有BO’+CO'BO+CO，而AO’=AO，就会有AO’+BO’+CO'AO+BO+CO）。•不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120°•1四个点构成凸四边形；•2四个点构成凹四边形；•3四个点中三点共线OABCDO'ABCDOABCDOABCDODOABC三角形费马点•三角形最大角•1、小于1200•2、不小于1200ABCSS1B1QDABCPHA'B'C'ABC费马点如何画？距离之和的最小值如何求？有A,B,C三个村庄，各村庄的小学生人数分别为a,b,c，把学校建在什么地方，才能使所有学生所走的路程总和最短？cAPBbCPAaBPCsinsinsinFDEPMABC一般费马点问题特殊集散点-n个集散点构成正多边形PDCBEAFP'Bs'CAEDsH一般的费马点问题已知平面上n个点Pi(xi,yi)（i=1,2,…,n），各点Pi的“权重”为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到已知n个点的加权距离最小？niiiiyyxxWyxC122)()(min),(min数学模型——运输优化问题•有一条笔直的河流，仓库A到河岸所在直线MN的距离是10千米，AC⊥MN于C，码头B到C为30千米，现有一批货物，要从A运到B。已知货物走陆路单位里程的运价是水路的2倍，那么如何选择路线，使总运价最少？MNAA1CDBDMNAFCBEDE代数函数模型ADC)30(10022xxyxxu21002)],sincos2(10[)1030(sin102tgy