03-2-杆的纵向振动与轴的扭转振动

燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★假设:(1)杆的横截面在振动时始终保持为平面，并作整体运动；(2)略去杆纵向伸缩引起的横向变形。已知:(1)杆的单位体积的质量为(x)，截面积为A(x)，杆长为L，弹性模量为E；(2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。3.2杆的纵向振动坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截面位置x和时间t的二元函数。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★在杆上取微段dx。微元受力如图所示。微元纵向应变为ddxuxuxxuu★x截面上的内力为N；x+dx截面上的内力为dNNxxxuExAExAxAtxN,★内力N是x,t的函数★根据牛顿运动定律得22d,dd,dduxAxxtNNfxtxNxNfxtxxxx杆纵向振动的偏微分方程为txfxuxEAxtuxAx,22燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★若杆的单位体积质量(x)==常数，截面积A(x)=A=常数，杆纵向振动的偏微分方程简化为如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为22222uuatxa为弹性波沿x轴的传播速度。aEtxfxuxEAxtuxAx,22txfAxuEtu,12222燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为tFxUtxu,22222uuatx0dd222tFttF222d00dUxUxxLxa杆纵向自由振动的偏微分方程可以分解为两个常微分方程燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity式中：C,D为待定常数，由两个端点的边界条件决定。两个常微分方程的解0dd222tFttF222d00dUxUxxLxatBtAtFcossinxaDxaCxUcossin式中：A,B为待定常数，由两个初始条件决定。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity固有频率为1,2,rELrLarr振型函数为sin1,2,rrUxxrL边界条件对固有频率、振型的影响(1)两端固定固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为00LUUxaDxaCxUcossin将边界条件代入振型函数00U0Dsin0CLa0ULD=0C=1燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversityC=0D=1固有频率为1,2,rELrLarr振型函数为cos1,2,rrUxxrL(2)两端自由0C自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为0dddd0LxxxxUxxU0d0dxUxxd0dxLUxx=0，杆作刚体纵向平动0sin0Lasin0DLaasincoscossinUxCxDxaadUxCxDxdxaaaa燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversityD=0C=1(3)一端固定一端自由的杆边界条件为00d0dxLUUxx由此得0D0cosLaaC频率方程为0cosLa固有频率为21211,2,22rrarErLL振型函数为sincos21sin1,2,2rrrUxCxDxaarxrLsincoscossinUxCxDxaadUxCxDxdxaaaa燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity对于上述三种边界条件：两端固定的杆；两端自由的杆；一端固定、一端自由的杆。前三阶振型图为：燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity解：上端固定的边界条件为000,0Utu或下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端点的边界条件为22,,ttLuMxtLuEA例-1求如图所示的上端固定、下端有一附加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和振型函数。实例燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity考虑到tFxLUxtLudd,故下端边界条件为LMUxLUEA2dd由顶端边界条件U(0)=0tFLUttFLUttLu22222dd,sincosFtAtBtxaDxaCxUcossin0D由下端边界条件xaaDxaaCxxUsincosddLaMLaaEAsincos2固有频率方程燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity因a2=E/。整理后得aLaLMALtg上式为特征方程，即固有频率方程。方程左边为杆的质量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以求得各个固有频率r的数值解，也可以用作图求出。LaaLMaEALtg2LaMLaaEAsincos2固有频率方程变化为1tgEALMaa燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity设质量比AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为1tg86.0143.3286.011ELLaELLa43.322作出tg和1/两个图形，如图所示。两个图形的交点1和2,…，便是各阶固有频率。M=0，即一端固定、一端自由的杆12ELaLaLMALtg燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。★如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M1，1亦为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为由此计算得基频MkLMEAMALLa1式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。2111tgALLLtgMaaMAL21因=L/aaE燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★这一结果与单自由度系统的结果相同，说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。★若进一步取31113tgMAL331113311ALMALMALMAL★将第一次的近似=AL/M代入上式，可得21★例如，当AL/M=1/10时，误差仅为1.25。1kM31211MAL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity所以基频1为3/3//3/1ALMkALMLEAALMALLa★上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系统的固有频率计算公式。——和瑞利法所得的结果相一致。★例如，附加质量M等于杆的质量时，有EL866.01因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能够满足工程实际应用的要求。精确解时，系数为0.86，误差仅为0.7。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity例2求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振动的固有频率和振型函数。解：左端为固定端，边界条件为0000U,tu或右端联结一刚度为k的弹簧。弹簧力与杆轴向内力大小相等，方向相反，即)(dd),(,LkUxxUEAtLkuxtxuEALxLx或燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversityLakLaaEAsincos由此得令β=-EA/kL，则★由上式可求得各个固有频率r的数值解。xaxUrrsin,2,1r由左端边界条件U(0)=0xaDxaCxUcossin0Dd()dxLUxEAkULx由右端边界条件★与各个r相应的振型函数为kLEAaLaLtantanLaLa燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity例3如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由端作用轴向力F，在t=0时释放。求杆运动规律u(x,t)。解：一端固定一端自由杆的固有频率和振型函数为,2,1rxLrxUELrrr212sin212121(21)(21)(,)sinsincos222rrrrrarauxtxAtBtLLL因11(,)()()()()()sinsinrrrrrrrrruxtUxFtUxFtUxAtBt燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity常数Ar和Br决定于初始条件EAFxxu0,0,0txu第一个条件给出了t=0时是均匀初始应变；因在t=0时释放此力，所以第二个条件表示初始速度为零。0rA故杆的位移u(x,t)可以表示为1212cos212sin,rrtLarBxLrtxutLarLarBtLarLarAxLrttFxUtt,xurrr212sin212212cos212212sindd1故由第二个初始条件得燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity由第一个初始条件得xLrBEAFxrr212sin1用乘以上式的两边。考虑到三角函数的正交性，在0xL上积分，可得的Br的值，有xLr212sinxxLrEAFxxxLrBLLrd2)12(sind2)12(sin002由上述方程可得,,,rEArFLBrr3211128122燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering