15-2以-2l-为周期的函数的展开式

返回后页前页§2以2l为周期的函数的展开式上节讨论了以2为周期,或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.(]π,π一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数返回后页前页周期为2l函数f(x)周期为2函数F(t)变量代换xtl将F(t)作傅里叶级数展开f(x)的傅里叶级数展开式一、以2l为周期的函数的傅里叶级数返回后页前页设f是以2l为周期的函数,通过变量替换:π,πxlttxl或().πltFtff[,]llF若在上可积,则在[π,π]上也可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是:01()(cossin),(1)2nnnaFxanxbnx就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函数2π返回后页前页其中(2)ππππ1()cosd,1,2,,π1()sindt,1,2,.πnnaFtnttnbFtntnπxtl()().πltFtffx因为,所以于是由(1)与(2)式分别得01ππ()(cossin),(3)2nnnanxnxfxabll返回后页前页与这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是f的傅里叶级数.1π()cosd,0,1,2,,1π()sind,1,2,3,.lnllnlnxafxxnllnxbfxxnll(4)01ππ()(cossin),(3)2nnnanxnxfxabll返回后页前页若函数f在[,]ll上按段光滑,则同样可由收敛定理知道(0)(0)2fxfx01ππ(cossin).(5)2nnnanxnxabll返回后页前页例1将函数0,50,()3,05xfxx展开成傅里叶级数.(5,5],f由于在上按段光滑因此可解以展开成傅里叶级数.根据(4)式,有05501π1π0cosd3cosd5555nnxnxaxx5035πsin0,1,2,,5π5nxnn返回后页前页5505011()d3d3,55afxxx501π3sind55nnxbx5035π3(1cosπ)cos5π5πnxnnn6,21,1,2,,(21)π0,2,21,2,.nkkknkk返回后页前页代入(5)式,得136(21)π()sin2(21)π5kkxfxk36π13π15πsinsinsin.2π53555xxx(0)(0)2fxfx01ππ(cossin).(5)2nnnanxnxabll(5,0)(0,5).x0x这里当和±5时级数收敛于3.2返回后页前页二、偶函数与奇函数的傅里叶级数[,]ll()cosfxnx的偶函数,则在上,是偶函数,()sinfxnx是奇函数.因此,f的傅里叶系数(4)是01π()cosd2π()cosd,0,1,2,,(6)1π()sind0,1,2,.lnlllnlnxafxxllnxfxxnllnxbfxxnll设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上[,]ll返回后页前页于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.01π()cos,(7)2nnanxfxal同理,若f是以2l为周期的奇函数,或是定义在[,]ll上的奇函数,类似可推得01π()cosd0,0,1,2,,(8)2π()sind,1,2,.lnllnnxafxxnllnxbfxxnll返回后页前页所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即1()sin,(9)nnnxfxbl其中nb如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数.返回后页前页当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为π02()cosd,0,1,2,.πnafxnxxn1()sin,(12)nnfxbnx其中π02()sind,(13)πnbfxnxx若l,则偶函数f所展开成的余弦函数为01()cos,(10)2nnafxanx其中返回后页前页[0,][0,]l注如何将定义在上(或更一般地上)的函数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将定义在[0,]上的函数作偶式延拓或奇式延拓到[π,π]上(如图15-8(a)或(b)).然后求延拓后函数的傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.01()cos,(10)2nnafxanx1()sin,(12)nnfxbnx返回后页前页图15-8(a)偶式延拓(b)奇式延拓OyxππOyxππ也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12),计算出它的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.返回后页前页例2设函数()|sin|,ππ,fxxx求f的傅里叶级数展开式.解f是[π,π]上的偶函数,图15-9是这函数及其周期延拓的图形.由于f是159图Oyxππ3π2π2π按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数.由(10)式(这时可把其中“~”改为“”)知道返回后页前页01|sin|cos,2nnaxanx其中0024sind,ππaxxπ102sincosd0,πaxxxππ0022|sin|cosdsincosdππnaxnxxxnxxπ021[sin(1)sin(1)]dπ2nxnxx212[cos(1)π1](1)π1nnn返回后页前页20,3,5,,41,2,4,.π1nnn所以212[cos(1)π1](1)π1nannn21214|sin|cos2ππ41mxmxm212cos212.,π41mmxxm返回后页前页21214|sin|cos2ππ41mxmxm212cos212.,π41mmxxm2121012.π41mm1111.21335(21)(21)mm0x当时,有由此可得返回后页前页1,0,1(),,20,πxhfxxhhx解函数f如图15-10所示,它是按段光滑函数,因而可以展开成正弦级数(12),其系数π0022()sindsindππhnbfxnxxnxx例3求定义在上的函数[0,π](其中0h)的正弦展开式.πOyxhπ115-10图返回后页前页02cos2(1cos).ππhnnxbnhnn所以12(1cos)()sin,0,π.πnnhfxnxxhhxn0xxh当时,级数的和为0;当时,有12(1cos)101sin.π22nnhnhn返回后页前页若令πh,则有121(1)()sinπnnfxnxn411sinsin3sin5,0π,π35xxxx当0x,时,级数收敛于0.π返回后页前页()fxx(0,2)例4把在内展开成:(i)正弦级数;(ii)余弦级数.解(i)为了把f展开为正弦级数,对f做奇式周期延拓(图15-11),并由公式(8)有1511图Oyx22662返回后页前页0,0,1,2,,nan202π4sindcosπ22πnnxbxxnn14(1),1,2,.πnnn所以当(0,2)x时,由(9)及收敛定理得到114π()(1)sinπ2nnnxfxxn4π12π13πsinsinsin.(14)π22232xxx返回后页前页但当x=0,2时,右边级数收敛于0.1512图Oyx224662所以当(0,2)x时,由(9)及收敛定理得到114π()(1)sinπ2nnnxfxxn4π12π13πsinsinsin.(14)π22232xxx返回后页前页(ii)为了将f展开成余弦级数,对f做偶式延拓(图15-12).由公式(6)得f的傅里叶系数为0,1,2,,nbn200d2,axx22202π4cosd(cosπ1)22πnnxaxxnn224[(1)1],1,2,,πnnn或返回后页前页212228,0(1,2,).(21)πkkaakk所以当(0,2)x时,由(7)及收敛定理得到2218(21)π()1cos(21)π2kkxfxxk2228π13π15π1coscoscos.(15)π23252xxx读者由例4可以看到,同样一个函数在同样的区间上可以用正弦级数表示,也可以用余弦级数表示,甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.