§15.2.以2l为周期的函数的展开式资料

2020年4月2日星期四1一、以2l为周期的函数的Fourier级数二、奇偶函数的Fourier级数三、函数展开成正弦级数或余弦级数2020年4月2日星期四2一、以2l为周期的函数的Fourier级数为周期的函数，是以设lxf2)(,ktx令)2()2(kktftF),()2(tFtF欲使)()2(ktfkktf只需,22lk只需即可。故令tlx,lk),(tx作变换).(2)(tFxf为周期的函数变换成以使),()()(tFktfxf则2020年4月2日星期四3,tlx令),()()(tFtlfxf则.2)(的周期为如上所述，tF可积，，在可积，则在若][],[Fllf展开式为：的FouriertF)(10)sincos(2)(nnnntbntaatF～10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxf～即2020年4月2日星期四4ntdttFancos)(1ntdttlfcos)(1tlxlldxlxnxflcos)(1),2,1,0(nntdttFbnsin)(1ntdttlfsin)(1lldxlxnxflsin)(1),2,1(n其中tlx2020年4月2日星期四5定理式为级数展开则它的按段光滑在且的周期函数设周期为Fourierllxfxfl,],[)(),(2),sincos(22)0()0(10lxnblxnaaxfxfnnn若f(x)在[-l,l]按段光滑，则有相应的收敛定理。为其中系数nnba,),2,1,0(,cos)(1ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1ndxlxnxflblln2020年4月2日星期四6yk2x2044解.,2满足收敛定理的条件l200221021kdxdx,k例1设)(xf是周期为4的周期函数,它在)2,2[上的表达式为20020)(xkxxf,将其展成Fourier级数.220)(21dxxfa2020年4月2日星期四7202cos21xdxnk,0202sin21xdxnkbn)cos1(nnk,,6,4,20,5,3,12nnnk当当12)12(sin12122)(mxmmkkxf),4,2,0;(xxna),2,1(n)25sin5123sin312(sin22xxxkk2020年4月2日星期四8例2将函数15510)(xxxf展开成Fourier级数.解把f(x)延拓成周期为10的周期函数（如图）.)5,5(,)(xxxf这是一个奇函数，且满足收敛定理条件.,05cos)(5155dxxnxan),2,1,0(nxy5501510内表达式为在)5,5()(xf2020年4月2日星期四9555sin)(51dxxnxbn,10)1(nn),2,1(n,5sin)1(10)(1nnxnnxf)55(x15sin)1(1010nnxnnx)155(xxy55015102020年4月2日星期四10另解1555cos)10(51dxxnxan1555sin)10(51dxxnxbn1551555cos515cos2dxxnxdxxn,01550)10(51dxxa,0,10)1(nn),2,1(n15sin)1(1010)(nnxnnxxf故)155(x),2,1(n2020年4月2日星期四11二、奇偶函数的Fourier级数一般说来，一个函数的Fourier级数既含有正弦项，又含有余弦项.但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(1)当周期为l2的奇函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00ndxlxnxflbnalnn定理2020年4月2日星期四12(2)当周期为l2的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20nbndxlxnxflanln证明,)()1(是奇函数设xfllndxlxnxflacos)(10),3,2,1,0(n奇函数ldxlxnxfl0sin)(2),3,2,1(n同理可证(2)llndxlxnxflbsin)(1偶函数2020年4月2日星期四13定义如果)(xf为奇函数,Fourier级数nxbnnsin1称为正弦级数.如果)(xf为偶函数,Fourier级数nxaanncos210称为余弦级数.2020年4月2日星期四14例3设)(xf是周期为2的周期函数,它在),[上的表达式为xxf)(,将)(xf展开成Fourier级数.解所给函数满足收敛定理的条件.,),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)0()0(ff收敛于2)(,0),())12((xfkxx处收敛于在连续点2020年4月2日星期四152233xy0,2)()12(为周期的奇函数是以时xfkx和函数图象),2,1,0(,0nan2020年4月2日星期四160sin)(2nxdxxfbn0sin2nxdxx02]sincos[2nnxnnxxnncos2,)1(21nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211nnnxn),3,;(xx2020年4月2日星期四17三、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓).(2,],0[)(xFllxf函数为周期的延拓成以上定义在设,0)(0)()(xlxglxxfxF令),()2(xFlxF且常用如下两种：.偶延拓奇延拓延拓方式有无限多种，2020年4月2日星期四18奇延拓:)()(xfxg0)(000)()(xlxfxlxxfxF则xy0ll的正弦级数)(xf1sin~)(nnlxnbxf)0(lx2020年4月2日星期四19偶延拓:)()(xfxg0)(0)()(xlxflxxfxF则的余弦级数)(xf10cos2~)(nnlxnaaxf)0(lxxy0ll2020年4月2日星期四20注1：对f(x)作不同的延拓，得到不同的Fourier展开式，但限制在(0,l)上是相等的。因此，[0，l]上函数的Fourier展开有无限多种.常用奇延拓和偶延拓，从而得到正弦级数和余弦级数.求f(x)在[0，l]的Fourier展开式时，并不要求写出延拓后的函数表达式。注2：注3：2020年4月2日星期四214例,,sin)(xxxf设函数f求的Fourier级数展开式.:解f是上的偶函级,其周期延拓后(如下图)],[23xyo23f由于是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.2020年4月2日星期四22002sin,4axdx102sincos0,axxdx020,3,5,,2sincos41,2,4,.1nnaxnxdxnn所以21214sincos241mxmxm212cos2[12],.41mmxxm2020年4月2日星期四23把在内展成xxf)()2,0(5例(i)正弦级数;(ii)余弦级数.:解(i)为了把展成正弦级数,对作奇式周期延拓ffxyo222020年4月2日星期四24则.,2,1,)1(42sin22120nnndxxnxbn所以当时,由收敛定理得)2,0(x114()(1)sin2nnnxfxxn(ii)为了把展成余弦级数,对作偶式周期延拓如下图:ff2020年4月2日星期四25xyo26624848则,2200xdxa,2,1],1)1[(42cos222220nndxxnxann).,2,1(0,)12(8222-12kakakk2020年4月2日星期四26xyo266248482)12(cos)12(81)(12xkkxxfk)2,0(x2020年4月2日星期四27例6将函数)0(1)(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.,)(进行奇式周期延拓对xf0sin)(2nxdxxfbn0sin)1(2nxdxx)coscos1(2nnn,6,4,22,5,3,122nnnn当当2020年4月2日星期四28(2)求余弦级数.,)(进行偶式周期延拓对xf00)1(2dxxa,20cos)1(2nxdxxan)1(cos22nn,5,3,14,6,4,202nnn当当]5cos513cos31(cos412122xxxx)0(x2020年4月2日星期四29对f(x)作其他延拓，Fourier级数如何？例:进行延拓)0(1)(xxxf00)1(1dxxa,22,5,3,12,6,4,202nnnan当当11xyO)(xfy0001)(~xxxxf2020年4月2日星期四30,6,4,21,5,3,121nnnnbn当当])5sin525cos52(4sin4)3sin323cos32(2sin2)sin)2(cos2[(1214122xxxxxxxxx)0(x11xyO)(xfy2020年4月2日星期四31需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;;2,],0[.的傅氏级数唯一展成周期为上在llb).(,],[.xfllc级数处处收敛于上连续且按段光滑时在2020年4月2日星期四32的傅里叶级数。周期为上展成，在将2]21[,21,)(xxxf练习解对f(x)作延拓，使其定义区间长度为2，再做周期延拓。由于没有要求傅里叶级数的形式，因此有无穷多种解答，一般选择易于计算的方式。方式一将f(x)延拓成21100)(xf(x),x,xF122020年4月2日星期四33,230)(112110200xdxdxdxxFa,)()1(1coscos)(22120nxdxnxxdxnxFann,)1(sinsin)(2120nxdxnxxdxnxFbnn)sin)1(cos)()1(1(43)(12xnnxnnxxfnnn21x2020年4月2日星期四34方式二将f(x)延拓成12xxFxf(x),xx,xF)(2110)(即,2200xdxa,0cos20xdxnxan,2sin20nxdxnxbn,sin121)(1xnnxxfn21x2020年4月2日星期四35方式三将f(x)延拓成21102)(