数学建模-投资的风险和效益[1]

多目标优化摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。【关键字】：经济效益线性规划模型有效投资方案线性加权1.问题重述投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A题)市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si(i=1,…n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ir并预测出购买Si的风险损失率为iq。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为ip，并且当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r,且既无交易费又无风险。（0r=5%）已知n=4时的相关数据如下：ir(%)iq(%)ip(%)iu(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。(2)试就一般情况下对以上问题进行讨论，并利用一下数据进行计算。iSiriqipiu1S9.6422.11812S18.5543.24073S49.4606.04284S23.9421.55495S8.11.27.62706S14393.43977S40.7685.61788S31.233.433.12209S33.653.52.747510S36.8402.924811S11.8315.119512S95.55.732013S35462.7.26714S9.45.34.532815S15237.61312模型的假设与符号说明2.1模型的假设：（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不再卖出。（3）每种投资是否收益是相互独立的。（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。2.2符号说明：参数范围说明Sii=1,2…n欲购买的第i种资产的种类M相当大公司现有的投资总额xii=1,2…n公司购买Si烦人金额rii=1,2…n公司购买Si的平均收益率qii=1,2…n公司购买Si的平均损失率pii=1,2…n公司购买Si超过ui时所付的交易费Eii=1,2…n公司购买资产Si所或得的收益k0.1~1权因子A不等式右端的系数矩阵f目标向量3问题分析由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资Si的平均收益率为xiri，风险损失为xiqi。要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的两点情况：（1）在风险一定的情况下，取得最大的收益（2）在收益一定的情况下，所冒的风险最小当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的范围内视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。对于模型一，在问题一的情况下，公司可对五种项目投资，其中银行的无风险，收益r0=5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定的风险，但其收益可能大于银行的利率，我们拟建立一个模型，这个模型对一般的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案（一般投资者分为：冒险型与保守型。即越冒险的人对风险损失的承受能力越强）。对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的风险预期收益率用一定的表达式表示出来，在这里，投资Si的平均收益为X(i)*r(i),风险损失为r(i)*q(i).要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。4模型的建立与求解投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。在对资产Si进行投资时，对于投资金额xi的不同，所付的交易费用也有所不同步投资时不付费，投资额大于ui时交易费为xipi，否则交易费为uipi，记iii0x0u0r;iiiiixxxu，；即题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，ui的数值非常小，iu=103+198+52+40=387元，对其中最大的ui来说，u2=198200元，而已知M是一笔相当大的资金，同时交易费率pi的值也很小，即使在xiui时，以ui来计算交易费与用xi直接计算交易费相差无几，所以，后面我们具体计算式，为简化暂不考虑ui的约束，都已xi来答题ui计算交易费。4.1模型一：问题分析与求解设购买iS的金额为ix，所付的交易费ic(ix)为0c(0x)=0。00()0(1~)iiiiiiiiiiixcxpuxuinpxxu(1)因为投资额M相当大，所以总可以假设对每个iS的投资ixiu，这时（1）式可化简为()(1~)iiiicxpxin(2)对Si投资的净收益:()()()iiiiiiiiiRxrxcxrpx(3)对iS投资的风险:()iiiiQxqx（4）对iS投资所需资金（投资金额ix与所需的手机费ic(ix)之和）即()()(1)iiiiiiifxxcxpx(5)当购买iS的金额为ix（i=0~n）,投资组合x=(0x,1x,……，nx)的净收益总额0()()niiiRxRx(6)整体风险：1()max()iiinQxQx(7)资金约束：0()()niiiFxfxM(8)多目标数学规划模型净收益总额R(x)进、尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即max()min().()0RxQxstFxMx(9)模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。假定投资的平均风险水平q，则投资M的风险k=qM，若要求整体风险Q(x)限制在风险k以内，即Q(x)=k，则模式（9）可转化为max().()()0RxstQxkFxMx(10)4.2模型一的求解（1）求多目标规划模型（9）的非劣解由多目标规划理论可知，模型（9）非劣解的必要条件（Kuhn-Tucker条件）为，存在1,2，0使12()(())(())0(())0,0RxQxFxMFxMx问题在于如何求（7）式给出的Q(x)的导数。（2）求模型（10）的最优解由于模型（10）中的约束条件Q(X)k,即kxmaxQii）（所以此约束条件可转化为：()(1~)iiQxkin这是模型（10）可转化为如下的线性规划：00max().(1)(1~)0niiiiniiiiirpxstpxMqxkinx(11)给定k,可方便的求解模型（11）。具体计算时，为了方便起见，可令M=1，于是（1+ip）ix可视作投资iS的比例。下面针对n=4,M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（11）可变为：max012340.050.270.190.1850.185xxxxx.st012341.011.021.0451.0651xxxxx12340.0250.0150.0550.026xkxkxkxk0ix(0~4)i4.3模型二：问题分析与求解我们的目标是对各种资产投资以后，不仅收益尽可能大，同时总体风险还要尽可能小，所以我们的目标函数应为收益和风险两个函数，由于在一般时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率已由表中给出，因此我们可以建立数学模型目标1：max1n1iiiiiYXrf）（目标2：min）（iini1iXqmaxfs.t.：1YX1n1iii）（这是一个多目标非线性数学规划模型,且if不是xi的连续函数,优化求解困难,下面我们将它转化为一个线性规划模型线性规划模型1目标函数的确定多目标规划有多种方法化为单目标问题解决,我们使用线性加权总目标函数：min））（（12f1ff反映了风险投资中投资者的主观因素,越小表示投资越冒险,当=0是表示只顾收益不顾风险,这样的人有可能取得最大收益;=1时表示只顾风险不顾收益,这样的人会将所有的资金存入银行2交易费函数的线性化近似本题中iY不是iX的连续函数,现将iY近似为iX的线性函数：iiiXpY3风险函数的转化令22nfX,那么必有2niiXXq(i=1,2,3…n)由于目标函数优化f，从而优化解必可）（iini1Xqmax达到2nX使达到,这样得到线性规划模型Min2n1n1iiiiXXr-p1f）（）（s．tn+1iii1iin+2ipXqXX0i1,2,3...n,X0i1,2,3...n+2（1+）=1，，，4.4模型二的求解：（一）采用MATLAB优化工具箱中的线性规划函数求解，它优化下列线性规划模型：XminCTs.tbAX使用格式为X=lp(C,A,b,vlb,vub,0X,N)其中vlb，vub分别是上下界，X0为初始值，N表示约束条件中前N个约束为等式约束（二）计算步骤1．输入数据，选取权因子；2．生成矩阵C,A,b3．根据需要取vlb,vub,X0,N(问题中vlb取零向量,V去1，vub和X0没有特殊的要求，设为空集)4.．使用MATLAB函数lp求解；5模型的结果分析与评价5.1结果分析模型一：风险投资种类n=4时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k，在风险不超过k的情况下确定最优组合，列表1如下：风险k0.0020.0030.0060.0070.0080.010.020.030.04收益y0.10110.12660.20190.20660.21120.2190.25180.26730.2673风险投资种类n=15时，建立模型求解，任意给定投资风险上限k，在风险不超过k的情况下确定最优组合，列表2如下：风险k0.060.070.080.090.10.20.30.40.5收益y0.29450.31320.32290.32920.33530.35860.37320.38680.4004n=4是的风险收益图如下：00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.050.10.150.20.250.3k风险y收益风险收益图1由列表（1）和图（1）可知，收益y随着风险上限k的增加而增加，在0~0.007附近增长速度最快，之后增长速度变缓慢。在k=0.007时，得出一个较优的投资组合收益y=0.2066,X=00.280.46670.12730.1016n=15时的风险收益图如下：00.10.20.30.40.50.60.70.050.10.150.20.25