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正方形的判定贺兰县如意湖中学陈国林新北师大版九年级数学上册平行四边形正方形矩形菱形平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形•满足什么条件的矩形是正方形？•满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论.平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法探究：以平行四边形、矩形、菱形为基础定义法菱形法矩形法①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。•定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.•定理：对角线相等的菱形是正方形.•定理：对角线垂直的矩形是正方形.•定理：有一个角是直角的菱形是正方形.•定理：既是菱形又是矩形的四边形是正方形.5种识别方法一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结例2.已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.ADBCFE议一议•1、以四边形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？•2、以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？•3、以矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？•4、以正方形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？请你证明.ABDCFE1、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABDF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形3、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF4、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC∴∠EAC＝∠BAG∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG【能力训练】1、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵MN∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四边形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°证明：∴DM=DF∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS)又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠∴∠1＝∠2∵∠CMD＝∠AME∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四边形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°3、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF4