数学2-3-3.1回归分析的基本思想及其初步应用

3.1回归分析的基本思想及其初步应用比《数学必3》中“回归”增加的内容必修３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果1、两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种理想的关系模型.相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况.问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：ˆˆˆybxanxxnii1其中：nyynii1　心。回归直线过样本点的中）称为样本点的中心，，（yx1122211()()ˆ,()ˆˆnniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy例1从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：编号12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差,并且区分函数模型和回归模型。1.散点图；2.回归方程：172.85849.0ˆxy分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．ˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)身高为172ｃｍ的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是,其原因是什么?探究？（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e是y与=bx+a之间的误差,通常ｅ称为随机误差。2它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ0ˆy其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=2.在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差越小，通过回归直线2ybxa预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。y另一方面，由于计算出来的和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。ˆyˆaˆb随机误差：线性回归模型：思考:产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。函数模型与“回归模型”的差别：函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定函数模型：abxy回归模型：eabxy问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine1122nniii残差：一般的对于样本点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。称为残差平方和。21()niiiyy表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用回归模型来拟合数据.残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,,,neee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；•若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；•对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。iiieybxa（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（3）分析残差图（2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿水平方向散点的分布规律相同。(2)残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号(或身高、体重等)：可以考察残差与编号次序之间的关系横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.R2的值越大,说明残差平方和越小,模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和例3在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量y1210753解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyxyˆ7.41.151828.1.aˆ1.1528.1.yx回归直线方程为：5152215ˆ5iiiiixyxybxx26205187.41.15.1660518价格x1416182022需求量y1210753列出残差表为521ˆ()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521ˆ()1()iiiiiyyRyy0.994因而，拟合效果较好。ˆiiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4ˆ1.1528.1.yx回归直线方程为：1)确定解释变量和预报变量;2)画出散点图;3)确定回归方程类型;4)求出回归方程;5)利用相关指数或残差进行分析.建立回归模型的基本步骤问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？选变量解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型分析和预测估计参数由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73,相关指数R2=0.7464所以一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。050100150200250300350036912151821242730333639当x=28时,y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函数模型合作探究y=c1x2+c2变换y=c1t+c2非线性关系线性关系问题１选用y=c1x2+c2问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温问题2如何求c1、c2？t=x2方法二，二元函数模型合作探究平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度t21232527293235t244152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54当x=28时,y=0.367×282-202.54≈85所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900105012001350t问题１如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温方法三指数函数模型合作探究问题２变换y=bx+a非线性关系线性关系对数43cxyce温度xoC21232527293235z=lny0.851.041.321.381.822.062.51产卵数y/个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912151821242730333639xz当x=28oC时，y≈44，所以指数函数模型模型中温度解释了98%的产卵数的变化.由计算器得：z关于x的线性回归方程为z=0.272x-3.849，,相关指数R2=0.980.272x-3.849ye44333434lnln()lnlnlnlnlncxcxycececcxecxc对数变换：在中两边取自然对数得43cxyce令,则就转换为z=bx+a34ln,ln,zyacbc43cxyce函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.802指数函数模型0.98最好的模型是哪个?指数函数模型最好！