傅里叶变换

傅里叶分析Fourier变换的提出1807年傅立叶写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝.1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1817年傅立叶由于对传热理论的贡献于当选为巴黎科学院院士。1822年成傅立叶为科学院终身秘书。《热的解析理论》正式出版傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程和各个学科的发展，是数学和科学中的伟大发明之一。让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶1768年3月21日－1830年5月16日法国数学家、物理学家时间序列2011coscos2....NNiiiiiitaaa三角级数定义•由周期为2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数基本函数族•组成：1，cos(nt)，sin(nt)•性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；1021(cossin)nnnftaantbntcoscos0sinsin0ntmtdtntmtdtnm，，1cossin0,coscosntmtdtntntdtn傅里叶展开11coscoscos2cos22ntntdtntntntdtdx11cos2cos22sin2022ntdtntdntdntnn傅里叶展开定理：其中：可得展开系数：11()cos,()sinnnaftntdtbftntdt傅里叶展开的意义傅立叶展开的意义：•理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；•应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数例子：对称方波的傅立叶展开0,4/0,4/)(xxxfmnmnxnxS112)12sin()()()(limxfxSmm-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f-3-2-1123-1-0.50.51S1-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S2-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S3-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S6-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S12-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S24-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f傅里叶级数推广（1）问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：方法：对基本公式作变换,/22xtxtLL1021)sincos()(nLtnnLtnnbaatf,cos)(1LLLtnndttfLaLLLtnndttfLbsin)(1傅里叶级数推广（2）问题：把定义在[-L,L]上的函数f(t)展开；方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期为2L的函数的一部分)，再按推广1展开；拓延前：拓延后：问题：把定义在[0,L]上的函数f(t)展开；方法：先把它延拓为[-L,L]上的奇函数或偶函数再按上述方法展开；傅里叶级数展开的复数形式基本函数族：正交性：展开系数：nLxnnicxf)exp()(ZniLxn，)exp(,exp()exp()2LnxmxnmLLLiidxL1exp()()2LnxnLLcifxdxL展开公式：傅里叶级数在海洋工程中应用举例幅值的获取3阶Stokes波波浪在潜堤上传播数值模型的验证如何计算02()cos,1,2....,1,2....NTiatntdtNnNT需注意：特殊情况处理办法——时间不连续序列的分析由于在波浪作用下自由水面是上下振动的，在测波浪点压力时，模型自由水面附近有一部分时间段会在波谷到达测点时会露出水面，这段时间测不到压力值，会导致所测时间序列的不连续，因此无法用前述方法进行计算。计算步骤：假定有效测量时间Te为波动的周期，在Te时间内对上式进行积分1021(cossin)Nnnnptaantbnt压力时间序列为：1021coscos(coscossincos)eeeeTTNnnnTTptntdtantdtantndtbntndt1021(cossin)eeeeTTNnnnTTptdtadtantdtbntdt1021sinsin(cossinsinsin)eeeeTTNnnnTTptntdtantdtantndtbntndt22nnnpab可求得：傅里叶变换非周期函数的傅里叶展开•非周期函数的傅立叶展开–问题：•把定义在（－∞，∞）中的非周期函数f(x)展开；–思路：•把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞；–实施：•展开公式nLxnnicxf)exp()(展开系数：dxxfiLcLxnLLn)(exp(21）困难•展开系数cn为无穷小；•幂指数nx/L不确定。–解决方法：•把nπ/L作为新变量，即定义ωn=nπ/L；•把cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π.–公式的新形式：•展开公式：nnnnxiFxf)exp()()(展开系数：dxxfxiFnLLn)()exp(21)(取极限：•傅立叶变换：dxxfxiF)()exp(21)(傅立叶积分：dxiFxf)exp()()(例矩形脉冲函数为1101tftt如图所示:1-1Otf(t)144,22,422nnftftnnnT1-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则则：222142111144111441sin11sinc0,1,2,22TnTnnnnnjtnTjtjtjtjjnnnnncftedtTftedtedteeejjn0sinsincsincsin0,lim1sinsinc01,1,0xxxxxxxxxx函数定义为严格讲函数在处是无定义的但是因为所以定义用不严格的形式就写作则函数在整个实轴连续。sinc(x)xsinc函数介绍26前面计算出1sinc0,1,2,22,2nnncnnnnT可将以竖线标在频率图上nc27如果令T=16,可计算出1sinc0,1,2,82,168nnncnnnn再将以竖线标在频率图上nc当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换.傅里叶变换的实质时间/空间域频/波数域傅里叶变换的算法连续傅里叶变换1()exp()()2Fitftdt实际中采集的数据都是离散形式（间隔为t）并且采集点数是有限的：0,2,3,......1ftffffN离散傅里叶变换10101()()exp()10exp(0)...exp()...1exp(1)1exp()NtjNjFftitdtNfifjijtfNiNtNfjijtN假定数据是周期性的，采样间隔为t,则频率分辨率为2Nt频率可表示为：22220,,2,......1nnNNtNtNtNt1012()exp()NjFnfjinjNN离散傅里叶变换可表示为：写成矩阵形式：221242211221111001111122111NNNNNFf其中：2exp2/,1NNWiNWW一个算例取n=0,1,2,4,t=1/4。o52cos903cos2nfnn001111111112211113311FfFfjjFfNFfjj051233FFiFFi离散傅里叶逆变换：102()exp()NnfjFninjN离散傅里叶变换是关于N/2对称的22expexpnfjFninjFNniNnjNN10101*012exp()122expexp()12exp()NjNjNjFNnfjiNnjNNfjiNjinjNNNfjinjFnNN*22expexp222RecosImsin22cosargnfjFninjFninjNNFnnjFnnjNNFnnjTFnNT快速傅里叶变换-FFTN=8FFT中的蝶形运算DFTvsFFTMatlabFFT实用方法命令:fft:计算时间序列的fftfftshift：把fft计算的结果按照频率顺序排列，N/2对应的是零频率需注意的是：N必须是2的整数次方：8,16,32……256,…….1024……1.计算截止频率2.计算频率分辨率3.去势（把零频率成分去掉）4.计算fft12cft/2cffN0,,2,...,,...2Nfffnff'fft(')Ay'yyEy''fftshift(')AA''/AANangle('')A21''2SfAf栅格效应X(f)f0ΔfΔ如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。解决办法：增加频率分辨率1.增大采样间隔2.增多采样次数能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。泄露解决方法----加窗函数举例幅值的提取ia(1)(1)022222201()....,1,2,...2iiiiaAAAAAi作业•动手编程演示序列幅值提取•动手编程序列的计算fft，并演示栅栏效应和泄露，以及通过加窗解决问题•程序发到邮箱：[e-mail]