传染病模型及其定性研究

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91s1-s传染病模型及其定性研究摘要本文依据通常的传播机理建立了传染病的基本模型以及推广到更复杂的模型.并运用微分方程进行了研究分析，得到的结果对控制传染病的流行、根除传染病的方法等都具有重要的惫义。我们运用了传染病模型来处理问题，主要有SI模型SIS模型SIR模型和MATLAB软件来进行解决问题和研究的。对于SI模型：（1）当12y时，dydt达到最大值，则此时病人增速最快。（2）当t时，()1yt，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会变为健康者。对于SIS模型：（1）1时，病人比例越来越少，最终趋于零，这是因为传染期内经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故。（2）1时，病人比例()yt增减性是由b来决定，其极限值1()1y随着的增加而增加。对于SIR模型：1）不论初始条件0s，0y如何，病人比例越来越少，最终消失。（2）最终未被感染的健康者的比例是s，在0001()()lnsyssyss中。令()0ys时，0001()ln0ssyss的单根即为s：最终未被感染的健康者的比例。在图像上：相轨线与s轴在1(0,)内交点的横坐标。（3）当01s时传染病不会蔓延。所以提高医疗卫生水平，从而使1变大，也可降低0s，则0011sr，011r，即使免疫者比例增大。这其实是比较困难的。如5，080%r。关键词：传染病SI模型SIS模型SIR模型MATLAB软件一问题重述现代医学科学的发展已经能够有效地预防和控制诸如天花、麻风、麻疹等许多的传染病。但是，仍然有象流感、肝炎、痢疾等传染病暴发或流行的报道，这些病的流行严重地影响着人类的生存质量和工作效率。而一种更为险恶的传染痢—爱滋痢则正跨越国界在世界范围内蔓延开来，对人类造成了极大的危害。因此，人们越来越重视对传染痢的传播过程、预防和控制的研究。传染病传播过程的研究与其它学科有很大不同，不可能通过在人群中作实验的方式获得数据，有关传染痢的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告和记录中获取，而这些数据往往是不够全面和充分的，很难以很据这些数据准确地确定某些参数和进行预报工作。试建立传染病的数学模型，并对传染病的预防、控制及传播规律提出建议和预测。二符号说明N总人数；t为某一时刻；)(tS易感者（占总人数比例）；)(tI已感染者（占总人数比例）；0S,0I分别是在0t时，健康者和病人所占人数的比例；每个病人每天有效接触的平均人数；病人每天被治愈的占病人总数的比例；三模型的建立与求解1模型1：SI模型根据前而的分析和假设，可知在t时刻，总人数中有)(tNI个病人，而每个病人每天接触的几个人中有)(tS个健康者通过与病人的有效接触成为病人。这样，每天共有)()(tStNI个健康者被感染感染，于是)()(tStNI就是病人数)(tNI的增长率。即:（1）化简的：（2）又)(tS+)(tI=1，所以（2）可以写成：（3）这就是我们建立的模型，它是一个一阶的具有初值条件的微分方程，一般称为SI模型。容易求出它的解为:(4)tI~)t(和I~dtdI的图形如下所示：图1图2所谓传染的高峰期，即病人总数增加最快的时刻，亦即dt)(ddINdtNI达到最大值的时刻。由(3)可知，当21I时，dtdI最大。将21I代入（4）可得：解除t为：显然mt就是预示着传染病高峰的到来，医疗、卫生部门应在这时期做好药品和床位等准备工作。由mt的表达式可知，它与又成反比，即又越小mt越大。注意到日接触率是该地区卫生水平的综合体现，因此，改善医疗保健设施、提高卫生水平和人们的防病觉悟可以推迟传染病传染高峰的到来。由(4)很容易得到:这表明随着时间的推移，病人的比例将成为百分之百，即所有人终将被感染得病，这显然不太符合实际情况。由此看来SI模型需做进一步的改进。1.1SI模型假设与建立1.1.1模型假设：（1）t时刻人群分为易感者（占总人数比例的)(tS）和已感染者（占总人数比例的)(tI）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。1.1.2模型建立：根据假设，每个患者每天可以使()st个健康者变为病人，因为病人数为()Nyt，所以每天共有)()(tStNI个健康者变为病人。即：)()(tStNIdtdIN，且1)()(tStI，设初始时刻病人比例为b，则：bIIIdtdI)0()1(1.2模型的求解bIIIdtdI)0()1(用MATLAB解此微分方程：symsabf=dsolve('DI=a*I*(1-I)','I(0)=b','t')010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/(1+91/9exp(-1/10t))00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.0050.010.0150.020.025f=1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)%11()1111(1)ttytbeebb当0.09,0.1b时，分别在坐标系oty中作出()yt的图像，坐标系oyy中作出)1(III的图像，a=0.1;b=0.09;h=dsolve('DI=a*I*(1-I)','I(0)=b','t')h=1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)f=subs(h)f=1/(1+91/9*exp(-1/10*t)))(tI的图像ezplot(f,[0,60])gridonfigure(2)fplot('0.1*I*(1-I)',[0,1])gridon)1(III的图像模型分析：（1）当12y时，dtdI达到最大值，则此时病人增速最快。（2）当t时，1)(tI，即所有的人被传染，全部变为病人，这显然是不符合实际的，其原因是没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，而病人不会变为健康者。2模型2：SIS模型建立与求解建立SI模型的过程未考虑病人可以治愈的情况。有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以认为无免疫力。这类病人被治愈后成为健康者，且还可以二度再被感染变为病人。这样在SI模型假设的基础上，再添加一个假设:病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1是这种传染病的平均传染期。这样每夭有产)(tNI个病人被治愈成为健康者，因而有即：（5）这就是病人治愈后无免疫力情况的数学模型，此模型也称为SIS模型。它的解可表示为:(6)注意到和1的实际意义，并令，可知是在一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称之为期内接触数。由（6）容易得到，当t时，（7）据(6)和(7)可画出ttI~)(的图形如图3。再来看看传染的高峰期。由(5)易知，当时，1121I时，dtdI达到最大值。将此值代入（6）中时)(tI的表达式：图3当1，且110I时，可解得1111ln)(01Itm，当1，或110I时，无t值。由此我们可知:当1或时，不会出现传染高峰期。显然这是合理的，因为此时日接触率小于治愈率。即每个病人在传染期内接触的人数小于1，这几乎相当于在传染期将病人完全隔离，当然也就造不成此病的大流行·只有当1，且110I时，才会出现传染的高峰期，由mt的表达式可知mt与，成反比，即减少传染期内病人的接触数或提高治愈率均可推迟传染高峰期的到来。由SI模型时的mt及所对应的21I和乙SIS模型的mt和对应的1121I可看出，考虑治愈情况后，高峰期时病人所占比较不考虑治愈情况要小，而高峰期到来的时刻较后者一般要晚。由以上分析可看到期内接触数1是一个或值。当1时，病人比例)(tI越来越小，最终趋于零。这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成病人数不超过原来病人数的缘故。当1时，)(tI的增减性取决于0I的大小。当110I时，传染病的流行有一传播高峰，病人比例会递增但趋于常数1-1；当110I时，传染病的传。没有高峰期，病人比例逐渐减少趋于1-1。因此，我们仍可通过提高治愈率或减少日接触率来降低的值，从而降低人群中病人的比例1-1。显然SI模型可视为SIS模型中0的情况。我们再来考虑病人被治愈后具有很强的免疫力的情形。比如天花、麻疹、甲肝等传染病就是这种情况。病愈的人因有了对此种传染病很强的免疫力，因此他们既然不是健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已退出传染系统，我们称他们为移出者。这时人群应分成三类:易感染者、已感染者和病愈免疫的移出者。假设三类人在t时刻占总人数N的比例分别为)(tS，)(tI和)(tR，显然应有1RIS。2.1SIS模型假设与建立：2.1.1模型假设：（1）t时刻人群分为易感者（占总人数比例的()st）和已感染者（占总人数比例的()yt）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当健康者与病人接触时，健康者受感染成为病人。（3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，显然1为这种传染病的平均传染期。则NINSIdtdIN。2.1.2模型建立建立微分方程模型为：bIIIIdtdI)0()1(2.2模型求解：用MATLAB解此微分方程：h2=dsolve('DT=a*I*(1-I)-c*I','I(0)=b','t')h2=(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c)pretty(h2)/exp(-(a-c)t)(-a+c+ba)a(a-c)/|a---------------------------------\b(a-c)exp(-(a-c)t)(-a+c+ba)c\+--------------------------------|b(a-c)/化简：()().().()()()actactaceacbaaeacbacabacbac2()()()().().()actactbacabaceacbaeacbac2()()()().()actbacabaccaeacba1()2()().()()actabaccaeacbabac1()1()actaaeacbac即：1)(1)(tebtI当（1）时，1)(1)(tebtI;（2）时，clearh2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b','t')h2=1/(a*t+1/b)即：11)(bttI。定义：一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。则：)1(,)1(011)(I，用MATLAB作图像：02040608010012000.10.20.30.40.50.6t-1/25/(1/100-47/700exp(1/25t))05101520250.50.550.60.650.7t3/20/(3/10-3/35exp(-3/20t))05101520250