工程中的数值模拟与仿真——1--有限元法的理论基础

工程中的数值模拟与仿真有限单元法的理论基础21有限单元法的理论基础1.1引言1.2微分方程的等效积分形式1.3加权余量法1.4变分原理和里兹方法31.1引言力学和物理问题的数学模型1、常微分方程和偏微分方程2、相应的定解条件力学和物理问题的求解方法1、解析方法方程性质简单、几何性质规则2、数值方法伴随着计算机软硬件的发展功能强大的根据有限差分法、有限单元法41.1引言有限差分法特点：直接求解基本方程和定解条件的近似解步骤：将求解区域划分网格网格结点上用差分方程代替微分方程应用：固结在空间的坐标系(Euler)下的流体力学问题51.1引言有限单元法特点：从与其等效的积分形式出发求近似解等效积分的一般形式：加权余量法适用于普遍的方程形式如果方程具有特定的性质，等效积分形式的迦辽金法可归结为某个泛函的变分，相应的近似解实际上就是求泛函的驻值有限单元法：不是在整个求解域上假定近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难——近代数值计算的重大突破61.2微分方程的等效积分形式1、微分方程的等效积分形式控制方程及边界条件的矩阵形式inAAAn021uuuuAonBBBn021uuuuBinQykyxkx0Aqonqnkon00B0uA0uBeexyO71.2微分方程的等效积分形式1、微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式0221121ΩnnΩTndΩAvAvAvdΩvvvuuuuAvv0ΓTΩTdΓdΩuBvuAv0221121ΓnnΓTndΓBvBvBvdΓvvvvuuuuBv81.2微分方程的等效积分形式1、微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式0ΓTΩTdΓdΩuBvuAv隐含条件：假定的积分能够进行计算——对函数能够选取的函数族提出了一定的要求和限制，以避免积分中任何项出现无穷大的情况。以函数自身形式出现在积分中，因此对的选择只需是单值的，并分别在Ω内和Γ上可积的函数即可。这种限制并不影响“微分方程等效积分形式”的有效性u在积分中还将以导数或偏导数的形式出现，它的选择取决于微分算子A或B中微分运算的最高阶次。vv和vv和uvv,,91.2微分方程的等效积分形式1、微分方程的等效积分形式Cn-1连续性连续函数有一斜率不连续点。设想在一个很小的区间△中用一个连续变化来代替不连续。可以看出不连续点附近，函数的一阶导数是不定的，但是一阶导数是可积的，即一阶导数的积分是存在的。不连续点附近函数的二阶导数趋于无穷，使积分不能进行。如果在微分算了A中仅出现函数的一阶导数，上述函数对于u是一个合适的选择。xOuxOdtduxO22dtud101.2微分方程的等效积分形式1、微分方程的等效积分形式Cn-1连续性一个函数在域内本身连续，一阶导数有有限个不连续点但在域内可积，该函数称之为具有C0连续性的函数。类推：如果在微分算子A出现的最高阶导数是n阶，则要求函数u必须具有连续的n－1阶导数，即函数具有Cn-1连续性。一个函数在域内函数本身（即它的零阶导数）直至它的n－1阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点但在域内可积——具有Cn-1连续性的函数。具有Cn-1连续性的函数将使包含函数直至它的n阶导数的积分成为可积。111.2微分方程的等效积分形式2、等效积分的“弱”形式等效积分的“弱”形式分步积分微分算子C,D,E,F中所包含的导数阶数较A低，降低了u的连续性，但以提高的连续性为代价是可选择的连续函数，适当提高对其连续性要求并不困难形式上：“弱”形式对u的连续性要求降低了，但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解。0ΓTΩTdΓdΩuBvuAvvv和0)()(ΓTΩTdΓdΩuFvEuDvCvv和121.2微分方程的等效积分形式2、等效积分的“弱”形式二维导热方程的等效积分及其“弱”形式0QykyxkxAqonqnkon00B0qdΓqnkvdxdyQykyxkxvΩ强制边界条件：假设Γφ上的边界条件在选择函数φ时已事先满足0等效积分形式131.2微分方程的等效积分形式2、等效积分的“弱”形式二维导热方程的等效积分及其“弱”形式0qdΓqnkvdxdyQykyxkxvΩdΓnykvdxdyykyvdxdyykyvdΓnxkvdxdyxkxvdxdyxkxvyΩΩxΩΩ)()(0)(qdΓqnkvdΓnynxvkdxdyvQykyvxkxvyxΩyxnynxn0qdΓqnkvdΓnvkdxdyvQykyvxkxvΩ141.2微分方程的等效积分形式2、等效积分的“弱”形式二维导热方程的等效积分及其“弱”形式0qdΓqnkvdΓnvkdxdyvQykyvxkxvΩqvvqqqqqvqdΓdΓnvkqdΓvdΓnkvdΓnvkdΓnvkdΓqnkvdΓnvk0qvqdΓdΓnvkdxdyvQykyvxkxvΩ0dΓnvkvqdΓvQddvkqΩΩTyx151.2微分方程的等效积分形式2、等效积分的“弱”形式二维导热方程的等效积分及其“弱”形式0dΓnvkvqdΓvQddvkqΩΩTk以自身出现，φ以一阶导数出现，允许域内k和φ的一阶导数出现不连续，而这种可能性在微分方程中不允许。自然边界条件：场变量φ不出现在Γφ的边界积分中。Γφ边界上的边界条件自动得到满足若在选择场函数φ时满足强制边界条件，则可通过适当选择v使在Γφ边界上v=0而略去沿Γφ边界积分项，使相应的积分“弱”形式取得更简洁的表达式0qnkB161.3加权余量法1、精确解与近似解近似解形式场函数u的精确解满足微分方程和边界条件，则等效积分形式或其弱形式必然满足实际的复杂问题难以找到精确解，需要设法找到具有一定精度的近似解NaaNuuiininnaNaNaN12211ai——待定参数Ni——试探函数（基函数、形函数）已知函数，取自完全的函数系列，线性独立的近似函数通常选择满足强制边界条件和连续性的要求171.3加权余量法1、精确解与近似解近似解形式未知场函数u为三维力学问题的位移时，取近似解niiinnniiinnniiinnwNwNwNwNwvNvNvNvNvuNuNuNuNu122111221112211iiiiwvua待定参数100010001iiiNNIN坐标的独立函数181.3加权余量法1、精确解与近似解加权余量法n取有限项数时021uuuuAnAAA021uuuuBnBBBNaaNuuiininnaNaNaN12211近似解不满足微分方程和边界条件将产生残差RNaARNaB191.3加权余量法1、精确解与近似解加权余量法等效积分形式用n个规定的函数代替任意函数得到近似等效积分形式0ΓTΩTdΓdΩuBvuAvvv及njjj~1;WvWvnjdΓdΩΓTjΩTj~10NaBWNaAW余量形式njdΓdΩΓTjΩTj~10RWRW通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零—权函数—，jjWW201.3加权余量法1、精确解与近似解加权余量法余量的加权积分为零可得到一组求解方程，用以求解近似解的待定系数a，得到原问题的近似解njdΓdΩΓTjΩTj~10NaBWNaAW展开0002211ΓTnΩTnΓTΩTΓTΩTdΓdΩdΓdΩdΓdΩNaBWNaAWNaBWNaAWNaBWNaAW若微分方程组A的个数为m1，边界条件B的个数为m2，则是m1阶函数列阵，是m1阶函数列阵njj~1Wnjj~1W211.3加权余量法1、精确解与近似解加权余量法近似函数所取试探函数的项数越多，近似解的精度越高，当项数趋于无穷时，近似解收敛于精确解njdΓdΩΓjTΩjT~10)()(NaFWENaDWC对于等效积分的“弱”形式，近似解形式加权余量法：采用使余量的加权积分为零来求解微分方程近似解的方法求解微分方程近似解的有效方法，任何独立的完全函数集都可作权函数分类：按权函数的选择不同分为配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、迦辽金法221.3加权余量法2、权函数配点法jjxxW若Ω域是独立坐标x的函数，具有如下性质：相当于简单地强迫余量在域内n个点上等于零jxxnjdxxj~10,jjIWW＝时子域法在n个子域Ωj内，Wj＝I，在子域Ωj外，Wj＝0实质是强迫余量在n个子域Ωj的积分为零231.3加权余量法2、权函数最小二乘法niiijj1aNAaW实质是使函数niii1~aNudniiiniiiTi11)(aNAaNAaI取最小值。即nij~10aI241.3加权余量法2、权函数力矩法一维问题：取近似解并假定已满足边界条件实质：强迫余量的各次矩等于零——积分法0uA,0~,0~,0~2dxuAxdxuxAdxuA二维问题u~,,,12xxjW,,,,,,122yxyxyxjW251.3加权余量法2、权函数迦辽金法近似积分形式jjjjjNWWNW,njddniiiTjniiiTj~1011aNBNaNAN261.3加权余量法2、权函数解题过程与结果比较)10(022xxudxud0,10,0uxuxxxxaxxaxaaxxu111~2121,1,121xxNxxN32221221622)(1~,2xxxaxxaxxRxaaxxun21112)(1~,1xxaxxRxxaun271.3加权余量法2、权函数解题过程与结果比较配点法：作为配点＝取21,1xn作为配点＝及＝取3