第二章-有限差分法的基本概念

课件邮箱：[e-mail]密码：2014fengxiaoli数值求解过程：1．区域剖分2．微分方程的离散3．初始和边界条件处理4．离散系统的性态研究（误差分析）有限差分法第２章有限差分方法的基本概念有限差分方法优点：1、概念清晰；2、方法简单，直观；3、系数矩阵有很好的结构和性质。有限差分法步骤：Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的集合;Step2.将待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程组;Step3.根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解．§1有限差分格式(1.1)uau0txxR,t0xRu(x,0)f(x)以最简单一维对流方程为例，引入用差分方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求解过程和原理．考虑对流方程的初值问题ttnnxxjjhn0,1,2,-j0,1,2,-网格剖分可以采用两组平行于x轴和t轴的直线形成的网覆盖区域D，它们的交点称为网格点（节点）节点(xj,tn)记为(j,n).间距h0称为空间步长，间距0称为时间步长．1网格剖分(区域的离散化）xt0n)(xj,tf(n)(x)Rn(x)0(xn!x0)n设f(x)在x0的某个邻域U(x0,)内具有直到n1阶的导数，则xU(x0,)有f(x)f(x0)f(x0)(xx0)-R(x)是余项，且R(x)o((xx)n)(xx)．nn002用Taylor级数展开方法建立差分格式(1.2)(1.3)(1.4)jnjnjnhh),(jn1jnu(x,t)u(x,t)u(x,t)O(txx设u是方程(1.1)的解，对于任何节点(j,n)，u的微商与差商之间的关系式向前差商）u(xj1,tn)u(xj,tn)u(x,t)O(h),(向前差商）u(xj,tn)u(xj1,tn)u(x,t)O(h),(向后差商）jn2hxu(xj1,tn)u(xj1,tn)u(x,t)O(h2),(中心差商）(1.5)(1.6)jnjnu(x,t)au(x,t)0,tx由于u是方程(1.1)的解，所以满足(1.7)hO(h),因此从(1.2)和(1.3)得到u(xj,tn1)u(xj,tn)au(xj1,tn)u(xj,tn)(1.8)jjjhj1un1unununa0为了保证逼近精度要求，实际取步长h与是较小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都趋向于零．这样可以用方程njjun1nj1ua(uun),j0,1,2,-jn0,1,2,-,(1.9)近似代替，其中un表示u(x,t)的近似值．jjn将(1.8)改写成便于计算的形式这里/h称为网格比．(1.10)jjjjjhj1un1unununa0u0f(1.8)和(1.9)称为方程(1.1)的（有限）差分方程．问题(1.1)中的初始条件的离散形式是u0ff(x),j0,1,2,-,jjj初值问题(1.1)的差分格式(显式右偏格式）(1.11)n+1njj+1xtn=3n=2n=1n=0j=012345显格式：计算时不用n+1层还未计算出的节点．两层格式：计算n+1层时只用到n层数据，前后仅涉及到两个时间层．jun1(1.12)(1.13)jjjjjjjh2hjun1unununajj10u0fun1unununaj1j10u0f对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式．在(1.1)中u对t采用向前差商，u对x采用向后差商和中心差商得(左偏格式）（中心格式）(1.14)u2utax2,xR,t0,xR,u(x,0)f(x),考虑扩散方程的初值问题(1.15)jjjjh2j1un1unun2ununajj10u0fj0,1,2,-,差分格式：3积分方法22jjnn1D{(x,t)|xhxxh,ttt}选定积分区域oxj-1jj+1tn+1nnDDj2j2h2njxjhxj2u2u2[u(t,x)u(t,x)]dxhnnan1[u(t,x)u(t,x)]dtthhxxuua[(t,xxxt对(1.14)积分有：tdxdtax2dxdt应用数值积分可得：[u(tn,xj)u(tn,xj)]hnj2h)(t,x)]jnj2xjnj2xj1nnj1nnjnj1xj1u(t,x)dxu(t,x)u(tn,xj)xxu(t,xh)hu(t,x)dxu(t,x)u(t,x)xx[u(tn,xj)u(tn,xj)]h2a[u(tn,xj1)2u(tn,xj)u(tn,xj1)]x∵u(t,xh)hjjh2j1j1un1unun2ununa即：j积分方法也称为有限体积法．有限体积法（FiniteVolumeMethod）又称有限容积法、控制体积法基本思路：1.将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；2.将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。4隐式差分格式(1.16)u2u0xl,t0ax2t考虑扩散方程的初边值问题(1.17)jjjjh2j1unun1un2ununajj10u0fun0,un0,0Jj0,...,J,n0u(x,0)f(x)0xlu(0,t)u(l,t)0t0差分格式：有限差分格式在新时间层上包含有多于一个节点，这种有限差分格式称为隐式格式．适用于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条件的初值问题．0(1.18)njjjjnnJunj1j1au(12a)uauu0,u0,0写成下列等价形式：nun1，f，j0,...,J,n0，1Tnn2f,f,...,fn10nJ1aAaa12aan12aAUU,U.12aa12a.a.......12nnnnJ1令Uu,u,...,uT，则上式可写为：严格对角占优，对称三对角阵；可用追赶法求解；显格式计算简单、快捷，但稳定性一般比隐格式差；隐格式求解线性方程组，计算复杂、工作量大，但隐格式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长．§2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性1、差分格式能否任意逼近微分方程相容性2、差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解收敛性3、差分格式的计算过程是逐层推进的，前面各层误差的影响是否会导致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖稳定性4、差分格式解的存在性、唯一性hjhLun0,对于齐次问题，可以将微分方程和差分方程记为Lu0，其中L是微分算子其中L是相应的差分算子1截断误差jjjhj1txun1unununa方程(1.1)微分算子L为Luuau格式(1.8)相应差分算子L为Lunhhj(2.1)设u是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子L和Lh分别作用于u(xj,tn)，记两者的差为Ｔ(xj,tn)，即hu(xj,tn1)u(xj,tn)au(xj1,tn)u(xj,tn)(u(xj,tn)au(xj,tn))txO(h)Ｔ(xj,tn)Lhu(xj,tn)Lu(xj,tn)称Ｔ(xj,tn)为截断误差．讨论格式(1.8)的截断误差即Ｔ(xj,tn)Lhu(xj,tn)Lu(xj,tn)我们也用“精度”一词说明截断误差．一般，如果一个差分格式的截断误差ＴO(qhp)，就说差分格式对时间t()是q阶精度的，对空间x(h)是p阶精度的．特别，当pq时，说差分格式是p阶精度的．差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t()一阶精度，对x(h)二阶精度．而差分格式(1.11)是一阶精度格式．2222txxxtvx,tvx,ttvx,tvx,tvxx,tvx,ttvx,tvx,tvx,ttvx,tvx,tvxx,tvx,tvx,t1tvx,t1tvx,tvx1x,tvx1x,t定义差分：一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分222xvx,tvx,txxvx1x,tvx1x,tx类似可定义高阶差分，如：22oxxxvx,t1()vx,t1[vxx,tvxx,t]vxx,t2vx,tvxx,t两个区间上的中心差分：2tux,tux,tux,tux,t1u21u323t2t2x,t6t3x,t...级数形式u12u=tx,t2t2x,余项形式，在t和t+之间24224xu1uux,tx,thx212x42u214u4x,th,thx212x4x,th...级数形式余项形式，在x和x+x之间jjjunh2j1j1un1un2ununa0以扩散方程为例，差分格式：22223424orxah2ux,t1x,ttux,t12u13ua4ux,t...x,th...2t6t12xa4ux,2t12x差分算子u2utx,tax2x,t微分算子,th12u2级数形式余项格式222hxTx,tah21tLuLuux,tux,t012ua4uh...2t212x412ua4uTx,tx,,th2t212x4OOh2截断误差：截断误差的主项（主部）：截断误差T(xj,tn)是在(xj,tn)点上差分方程近似微分方程的误差．,h越小，误差越小．求差分格式的截断误差:将相应问题的充分光滑解代入差分格式，再进行Taylor级数展开．2224xh2u(x,t)11(,t)tT(x,t)u(x,t)auahu(x,)2t212t4对扩散方程隐格式，有：jjjjjjh2u2j1j1n1n1nj1j1un1un1un2ununa0u2a(u2unun)对于扩散方程，还可以建立差分格式：称作Richardson格式，或写为：j-1jj+1n+1nn-1截断误差为：T(x,t)O(2)O(h2)三层格式：计算第n+1层用到n,n-1层节点多层格式：多于两层的差分格式jmnjuj1njmPununPu定义空间平移算子：P:２相容性knun1nklLujhjkjk差分格式写成算子形式：laPu,a是依赖于,h的系数．若当h,0时，Txj,tn0，则称差分格式与定解问题是相容的．njjnnnjjnjux,tu00时，差分格式的解uux,t，即e收敛性：当h,．３收敛性nj这里ux,t是微分方程之解，u是差分格式之＂真解＂，（真解指在求解差分格式过程中，忽略了各种误差，如舍入误差，也就