廖敦明《有限差分法基础》第3章有限差分方法基础

第3章有限差分方法基础廖敦明材料学院华铸软件中心Tel：18071121688,87558134Email:[e-mail]1《有限差分法基础》讲义2主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理31.微分方程？2.常微分方程？3.偏微分方程？4.导数？5.微分？6.差分？7.差商？几个概念41.微分方程？几个概念tLzTyTxTtTCp)(2222225FDM3•有限差分法（FDM），又称泰勒展开差分法，最早用于传热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本低等优点，目前已成为应用最为广泛的数值分析方法之一，绝大部分流动场和温度场数值模拟计算均采用此方法。•FDM在缩孔、缩松预测，组织形态预测及流动场模拟等方面都表现出很大优势及良好的前景。在铸造领域中，FDM经过三十年的发展，已在温度场、流场模拟、缺陷预测等方面取得了丰硕成果，涌现出许多商品化软件，如德国的MagmaSoft，瑞典的NovaCast，美国的FLOW-3D，芬兰的CASTCAE以及国内清华大学研制的FT-Star，华中科技大学的华铸CAE等。概述-有限差分法应用1、差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为：xxfxxfxydxdyxx)()(limlim00dxdy是函数对自变量的导数，又称微商；y、x分别称为函数及自变量的差分，xy为函数对自变量的差商。6第一节差分原理及逼近误差QzTzyTyxTxtTCpwhere，isdensity（kg/m3）;isspecificheat（J/kg·K）；Tistemperature（K）;tistime（s）;isthermalconductivity（W/m·K）;islatentheat.CpQ三维温度场控制方程傅里叶热传导方程（Fourierequation）：78差分离散化：根据微分定义可知，式中，T—当前时刻温度；—下一时刻温度；—两时刻间的间隔。tTTtTtTt0limTtxxfxxfxydxdyxx)()(limlim009一阶差分：（图示）向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxfy（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）x〉010上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。y2以向前差分为例，有)()(2)2()]()([)]()2([)()()]()([)(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy（1-5）二阶差分：112、请分别写出二阶向前、向后、中心差分格式：（1）二阶差分向前差分？（2）二阶差分向后差分？（3）二阶中心差分？课堂作业：1、请写出一阶差分格式12)()(xxfxfy)2-()-(2)()]--()-([)]-()([)-()()]-()([)(2xxfxxfxfxxxfxxfxxfxfxxfxfxxfxfyy)21()21(xxfxxfy)-()(2)()]--()-([)]-()([)-()()]-()([)(2121212121212121212121212xxfxfxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxxfxxfxxfyy二阶差分向后差分二阶中心差分)()(2)2()]()([)]()2([)()()]()([)(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy二阶差分向前差分)()(xfxxfy13依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶向前差分为：)]}()(([{)]}([{)]([)(21xfxxfyyyynnn（1-6）14函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为：xxfxxfxy)()(一阶向后差商为：xxxfxfxy)()(（1-7）（1-8）差商：15一阶中心差商为：xxxfxxfxy)21()21(或xxxfxxfxy2)()(（1-9）（1-10）16以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,),,(),,(xyxfyxxfxf,),,(),,(yyxfyyxfyf（1-12）（1-13）172、不同的差分格式•a)、泰勒级数展开将在点按泰勒级数展开，则有：•导数的差分表达式不是唯一的。•作业：用taylor级数展开，推导一阶向前差商，一阶向后差商。02220000|!2|,,,,xfxxfxzyxfzyxfzyxf,,000,,zyx2220!2xfxxfxxfxfxxfxxfxy)()(18第三层第二层第一层第一层网格图及其标号1920•b)、差分格式的选取21混合二阶导中心差分1,11,11,11,12112||||41||21jijijijijjffffhxfxfhxfyyxf1,11,11,11,12112||||41||21kjkjkjkjkkffffhyfyfhyfkzyf1,11,11,11,12112||||41||21kikikikiiiffffhzfzfhzfxxzf22端点差分公式•中心差分公式是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值。•有时也需要用到另一种形式的差分公式，它以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。23X-Y平面有限差分离散图24得出关于结点0，1，9的端点差分公式：在上图中的结点1,,即：在上图中的结点9，，即：按泰勒级数展开得出：hxx20hxx20)2(220222009xfhxfhff232300002300011()2!3!fffffxxxxxxxxx)1(20222001xfhxfhffhxx0hxx025•再从式（1）和式（2）中消去即得一阶端点导数公式：同理，得出关于结点0、3、11的端点导数公式：022xfhfffxf2439100hfffxf2431130026Y方向的端点差分公式hfffyf24310200hfffyf2431240027中心差分公式与端点差分公式的比较•中心差分公式与端点差分公式相比，精度较高，因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映结点一边的函数变化。(参见下页)•据此，我们总是尽可能应用中心差分公式，而只有在无法应用中心差分公式时，才不得不用端点差分公式。28X-Y平面有限差分离散图hfffxf2439100xxxfxxfxy2)()(hffxf2310hfffxf2431130029求解偏微分方程的有限差分方法考虑一个典型的二维二阶稳态问题，寻找函数u(x,y):Ω→R，使得：(11)(12)(22)1237uuuaaaxxxyxzuubbcufxy在内（）yy3031节点(xi,yi)处的真实解u(xi,yi)的近似值记为ui,j(有限差分)，0≤i＜Nx且0≤j＜Ny，如图所示。有限差分方法的基本思想是用几个临近点处的函数值近似一元函数Φ(x)在点x处的导数∂𝜙∕∂𝑥：其中h为一个很小的正数。将式39代入式37的一阶导数项，得：'1()([()()])392xxhxhh（）,1,1,,,1,11()2()12)(,)22ijijijijijijiixybuubuuuubbxyxyhh(32代入二阶导数项得：其中，记号ai,j表示任一系统函数a(x,y)在点(xi,yi)处的值a(xi,yi),ai+1/2,j表示a(xi+1/2,j,yj)，且xi+1/2,j=xi+hx/2。1/21/21/2,1,,1/2,,1,2(11)(,)(11)(,)(11)(,)11[]11[]iiiiiixijijijijijijxuaxyxxuuaxyaxyxxhauuauuh33这样方程（37）在任一内部结点(xi,yj)处可以用一个有限差分公式近似：1/2,1,,1/2,,1,21,1,11,11,1,11,1,1/2,1,,1/2,,121,1,,1,11[]11[]12[]12[]422[]22[]1()2(2ijijijijijijxijijijijijijxyijijijijijijyijijijijxauuauuhauuauuhhauuauuhbuubuuh1,,,)2ijijijycufh34在每个边界节点处，解由Dirichlet条件（38）决定：,,0,1,0,1ijijxyugforiiNjorjN35[第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/5）由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。2．逼近误差xxfxxfxydxdyxx)()(limlim0036第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（1/5）现将函数在x的邻域作Taylor展开：))(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV（1-14）)()())(()(!4)()(!3)(!2)()()()(432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV（1-15）符号O（）表示与（）中的量有相同量级的量。把中的指数n作为精度的阶数。这里n=1，故一阶向前差商具有一阶精度。)(nxOx37第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（2/5）)()()()(),)(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）38第一节差分原理及逼近误差/逼近误差（3/5）将