静电场的环路定理

第4节静电场的环路定理CircuitalTheoremofElectrostaticFields电场力→高斯定理→有源场电场力做功→环路定理→无旋场1一、静电场力做功EdlLbaq00dddAFlqEl00dddLLLAFlqElqEl电场强度沿路径L的线积分积分取决于电场强度的分布E0dLAElqE由电场强度的定义可知，在静电场中，电荷q0受到电场力的作用。当q0在电场中的位移为时，电场力做功：E0FqEdlF在力作用下，q0从a点经某路径L到达b点，电场力做的总功为F1.在点电荷q的电场中——点电荷的电场力作功只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关与路径无关+qabdlFdrrr+drq0crarb电场力做功0dAFdlqEdl点电荷q的电场强度为204rqEer0204rqqdAFdledlr002200cosdd44qqqqlrrr积分002001144baabqqqqAdrrrr2ab2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)1q2qiqjqnq1ErnErEc0q电场力是保守力，静电场是保守力场。结论将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力0FqE12nEEEE该处的场强为dd0baAFlqEld012()bnaqEEEl电场力作功ddd01020bbbnaaaAqElqElqEl电场强度的线积分与路径无关3二、环路定理在任意电场中,将q0从ab电场力作功：经L1经L2dd00baabqElqEl1L2Ldd00bbaaqElqEl1L2Ldd00bbaaqElqEl1L2LaL1L2b0qd0LAqEld00LAqEl即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零静电场的环路定理d0LEl41º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。静电场两个基本性质：高斯定理有源场环路定理无旋场d01iSSESqd0LEl2º运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨论。注5aL1L20q一、电势差和电势ddbbaaElEl1L2L存在与位置有关的态函数第5节电势差和电势从上一节讨论可知ElectricPotentialDifferenceandElectricPotential即：a、b两点的电势差=A/q0将单位正电荷从ab电场力作的功与路径无关与重力势能类似定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，dbabaVVEl则两点间的电势差为b6例:已知真空中两金属圆筒电极间电压为U，半径分别为R1、R2。求：负极上静止电子到正极时的速度？U1R2Rd0babaAVVElq2eUvm()()eU2102mv()AqVV解：由电势差的定义可得212eUmv即71o电场中某点的“V”由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。它描述的是电场“能的性质”。2o电势是标量，有正、负。3o电势是相对量，相对于V=0处而言。原则上可选电场中任意一点的电势为零。注意定义：电场中任意点P的电势d0VPPVEl把单位正电荷从P点沿任意路径移动到零势点,电场力力做的功dbabaVVEl8单位：伏特或焦耳/库仑,记为V或J/C,1V＝1J/C4º电势零点的选取电荷分布在有限空间，取无穷远为V=0点。电荷分布在无限空间，取有限远点为V=0点。一般工程上选大地或设备外壳为V=0点理论上注意9二、电势的计算1.用定义法求Vd0VPPVEl例.求点电荷q电场中任意一点P的电势V=？qPq0时,VP为正,rV,r处V=0minq0时,VP为负,rV,r处V=0max已知q的电场分布204rqEer0rV04Pqr根据定义,P点的电势为d204rqrrdd204PrPPqVElelr解:设10例.求均匀带电球面电场中任一点P的电势分布。设球面半径为R，总带电量为q。与点的位置无关场区是等势区E=0的区域,“V”不一定为零注意RqoPrrPr0RV解:用定义法,选V=0,dPPVEr04qrrR处d204Prqrr04qRd204Rqrr0rR处dPPVErdd12RrRErEr11d0VPPVEl例.求半径为R,电荷线密度为的无限长均匀带电细线的电势分布？解：无限长均匀带电细线电场分布02rEer若令V=0则任意点P的电势为dd00ln22PPPrPVErrrr无意义PrP0r0P'令某处r=r0（有限值）V=0，则d0PPPVEl00ln2rrd02PPrr可见：当电荷分布到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。12dd0PPPPElEl2.用叠加法求V在点电荷系的电场中,任意点P处的电势12,nqqqdd12PnPPVElEEElddd12nPPPElElEl1201020444nnqqqrrrkVVV2104iPiiiiqVVr电势叠加原理任意带电体场中的电势d04PqqVr04qVr1q2qiqjqnq.Pr1r2rn1314例点电荷q1=q2=q3=q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上，各顶角距离中心5cm。求:1)中心o点的电势；2)将q0=1×10-9C从无穷远处移动到o点，电场力做的功。解：1)用迭加法，各点在o点的电势123404qVVVVr2010428.8104qVVVr2)由定义知，电场力做的功00dddoooAFlqElqEl11028.810oqVJ例计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中两点电荷+q、-q的距离为l。lrPrr+r+qq1522200cos()44(cos)4PrrqqlVrrlrcos2lrrcos2lrr当rl可做如下近似00()44PiiqqVVPrr解：用迭加法coserrpeqleql由0()4rrqrr204erPpeVr得例.长为L的均匀带电导线,电荷线密度为+.求:延长线上任意一点P的电势。lLxxdxxPor解：用迭加法，取电荷元ddqxddd0044()qxVrLlx0ln4Llldd004()LPxVVLlxP的电势16d04PqqVr例.求一均匀带电圆环轴线上任意点P的电势.设圆环半径为R，总带电量为q。2204qRx解:根据迭加法，在带电圆环上取电荷元dqdd04PqVr其在P点产生的电势为dd00220044qqPqqVrRx所有电荷在P产生的电势讨论o01||,4||PqxRVx相当于点电荷o020,4PqxVR,0PxVrRxxoPqdq.17d04PqqVr一、等势面电场中所有电势相等的点构成的曲面叫等势面。（可由实验测定）04qVr第6节电势梯度ElectricPotentialGradient1.定义18①在等势面上移动电荷时,电场力不做功；②电场线与等势面处处正交;③电场线方向指向电势降低方向;④若相邻等势面电势差相等,则等势面密处场强大；等势面疏处场强小。2.等势面与场强的关系190()ababAqVVdbabaVVEl二、电势梯度矢量（gradV）20表示与V的积分关系EbabaVVEdl与V的微分关系?Eddd2121cosPPPPVVVElEl沿电势增加的方向作等势面的法线，电场强度与方向相反。nnEVdVV1P2PErdln2P在静电场中取两个相距很近的等势面V和V+dV，讨论V和V+dV上任意两点P1和P2的电势差。cosE为场强在方向的分量EdllEddlVEl电势V沿的空间变化率dl1.电势梯度定义：电场中某点的电势沿过该点等势面的法线方向的空间变化率叫该点的电势梯度。（实际上是电势在该点的最大空间变化率）方向:与同向大小：梯度定义：ddgradVVnnddVnn21VdVV1P2PErdln2P2.电场强度与电势梯度的关系ddEnVddVEnVgradddVEnnVdVV1P2PErdnn根据电势差的定义,把单位正电荷从P1移到P2电场力所作的功为：ddd()AEnVVV即:电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值ErVgradEr22归纳积分关系：d0VaaVEl注已知可以求V,已知V可以求。ErEr求的方法又增加一个！Er微分关系：EgradV电场强度与电势的关系xVExyVEyzVEzddVEnn直角坐标系中，电势函数V=V(x,y,z)()VVVEijkxyzV23场强的大小取决于电势在该点的空间变化率，与该点电势数值的大小无关！例.求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意一点的场强。x.PoRxr则该点的电场00VVyz322204()PxQxVEExRx方向沿x轴()PVVVEijkxyz24解:已求得圆环轴线上任意一点P的电势为2204PQVRxlrPrr+r+qq例.由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。erer302cos4rqlVErr30sin4qlVErr如图取极坐标系,则电场强度为rrEEeEe其中304epEEr2当时中垂线上一点的场强3024erpEEr0当时延长线上一点的场强25解:已求得电偶极子电场中的电势为2200cos()44erpeqlVrrrVdVV1P2PEdnnVgradEr取决于V在该点的空间变化率,与该点V值大小无关。（1）小结（2）电场强度的又一单位：V/m=N/CEd01iSSESq（3）求的三种方法点电荷电场叠加用高斯定理求对称场电势梯度法d204rqEergradEVE26