微分方程的基本概念

1第十章微分方程2微分方程第十章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广3引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,21.yx因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.一、引例4引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,由已知得,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为20.220stt说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).51.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.二、微分方程的基本概念实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子.区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式.常微分方程：所含未知函数是一元函数.偏微分方程注：本章只讨论常微分方程分类2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.d2dyxx如：6三、微分方程的主要问题-----求方程的解—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解1.微分方程的解—通解中的任意常数被确定后的解.,00ts200ddtts引例24.022ddxyxxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn7(1)(1)000000(),(),,()nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):2.定解条件过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.83.解的几何意义解:积分曲线.特解:微分方程的一条积分曲线.通解:积分曲线族.,00ts200ddtts引例24.022ddxyxxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:9例1.验证函数是微分方程的解,0d,0d0txxAtt的特解.解:212(sincos)kCktCkt这说明12cossinxCktCkt是方程的解.是两个独立的任意常数,12(,)CC为常数利用初始条件易得:故所求特解为cosxAkt故它是方程的通解.并求满足初始条件s)c(oxCkCt问：是方程的解吗？是什解？为常数么12sincosxCkktCkkt12[sincos]tCkktCkkt10第二节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程(d().(1))dyfxgyx形如的方程叫可分离变义：量的方程定2d2dyxxy例如2d2dyxyx两边积分,得32ln3yxC323xCyee11(2)解法：()d()dgyyfxx()()GyFxC为微分方程的解.这种解法叫分离变量法1.分离变量:2.两边积分()d()dgyyfxx设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.12例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxy即1CeC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)3lnlnyxC13注意:..,0.1以后不要求找叫“奇解”也是原方程的解y2.lnln,.yy写为但结果的形式不变).(ln.31为任意常数也可以写成CCC例2.解初值问题2d(1)d0xyxxy解:分离变量得2dd1yxxyx两边积分得即21yxC由初始条件得C=1,211yx(C为任意常数)故所求特解为(0)1y21lnlnln1yCx14求所满足的微分方程.例3.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).Yy()Xx令Y=0,得Q点的横坐标,xyyx即20yyx则点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,15练习:解法1分离变量Ceexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令故有ueu1两边积分Cxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(两边积分得dd1uuxe162.齐次微分方程(1)定义：形如d()dyyxx的方程叫做齐次方程.(2)解法:-----变量代换法令xyu代入原方程得：,xuy即则,ddddxuxuxy),(dduxuxu即.)(ddxuuxu求此可分离变量方程的解，并回代.xyu)1()2()3(22ddddyyyxxyxx如：22ddyyxxyx2()dd1yyxyxx2d()dxxxyyy17例1求解微分方程，令xyu，uuxyuxy,21uxuuu1uxuulnlnlnuuxClnyCyx故微分方程的解为解原方程可变为：.dddd22xyxyxyxy.yxCyeCuxuln即则即1d(1)dxuux2()dd1yyxyxx18例1求解微分方程xuy令，dd,ddxuxuyyuyy，2dduyuuuy2dduyuy1lnlnyCulnyCyx微分方程的解为另解原方程可变为：2d()dxxxyyy.dddd22xyxyxyxy即.yxCye1lnCyu即则即21ddyuuy19例2.解微分方程解:2d2,dyyyxxx方程变形为yux令则有22uxuuu分离变量2dduxuux积分得ln(1)lnlnlnuuxC11dd1xuuux即代回原变量得通解即(1)xuCu()xyxCy说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.20例3求解微分方程d.dyxyx解,uyx令则,xuy，1ddddxuxy于是d1,duux即d1duux分离变量得1dd1uxu积分得ln(1)ln.uxC将yxu代入上面式子得：ln(1)lnxyxC1xyCex或注意：的方程可用byaxu将其化为可分离变量的方程.代换，)(byaxfy形如)0(b21,0)1,0(,1FCF例4已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有]dcosdsin[),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfyxyFFyxtanxyytan10xy1,cosyxsecyx即]sin),([]cos),([xyyxFyxyxFxy22内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解y=–x及y=C分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.23d()dyyxx形如的微分方程解法：,xyu作变量代换.yxu即3.齐次方程d()dxxyy若.xuy令24备用题设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.备用题解答：如图1S2Sxyo)(xfy(,)Pxy212SS20()dxSfxx120()dxSxySxyfxx00()d2[()d]xxfxxxyfxx03()d2,xfxxxy251S2Sxyo)(xfy(,)Pxy03()d2,xfxxxy两边同时对求导xyxyxf22)(3yyx2积分得:2,yCx因为曲线)(xfy过点)3,2(92C,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为:.223xyd2dyxyxd12dyxyx26思考题20()()()dln2().2xtfxfxftfx若连续函数满足，求.分析：这类方程叫积分方程，其解法是化为微分方程解两边同时对求导x()()fxfx=2()fxy记=ddyyx则=2ddyxy=2ln2lnyxC2xyCe(0)ln2f由原方程知ln2C2()ln2xfxe