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第28讲视图与投影考点一生活中的立体图形1．生活中常见的立体图形：球体、柱体、锥体，它们之间的关系可以用下面的示意图表示．立体图形球体柱体圆柱棱柱三棱柱四棱柱五棱柱……锥体圆锥棱锥三棱锥四棱锥五棱锥……2．多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．考点二立体图形的三视图1．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．2．常见几何体的三视图几何体主视图左视图俯视图几何体主视图左视图俯视图3．画三视图的原则(1)位置：俯视图在主视图的下面，左视图在主视图的右边．(2)尺寸：主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等，左视图与俯视图的宽相等．温馨提示：画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线；看不见部分的轮廓线通常画成虚线.4．由三视图确定几何体由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体的形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸，最后画出几何体．考点三立体图形的展开与折叠1．常见几何体的展开图常见几何体展开图图形示例(选其一种)两个圆和一个矩形一个圆和一个扇形两个全等的三角形和三个矩形2．正方体侧面展开图的类型(1)一四一型(2)二三一型(3)三三型(4)二二二型考点四投影1．用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．2．平行投影：由平行光线形成的投影．3．中心投影：由同一个点发出的光线形成的投影．4．不同时刻，同一个物体在太阳光照射下的影子是不同的；在同一时刻，不同物体的高度与影长成正比．考点一识别几何体的三视图例1(2014·咸宁)6月15日“父亲节”，小明送给父亲一个礼盒(如图所示)，该礼盒的主视图是()【点拨】由礼盒摆放的位置和视线的方向可知，该礼盒的主视图是一个矩形，且包装线偏右．故选A.【答案】A考点二由三视图确定几何体例2(2014·潍坊)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()【点拨】观察四个选项中的几何体，只有D中几何体的俯视图是两个同心圆．故选D.【答案】D方法总结：由主视图分清物体的上下左右，由左视图分清物体的上下前后，由俯视图分清物体的左右前后.考点三根据三视图进行有关的计算例3(2014·杭州)已知某几何体的三视图(单位：cm)，则该几何体的侧面积等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2【点拨】由三视图可知，该几何体是圆锥，且圆锥的高是4cm，底面圆的直径为6cm，由勾股定理可得圆锥的母线为5cm，故圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(cm2)．故选B.【答案】B方法总结：主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽.考点四立体图形的展开与折叠例4(2014·长春)下列图形中，是正方体表面展开图的是()【点拨】由正方体展开图的规律可知，“田”“凹”“7”字型都不能围成正方体，故是正方体展开图的是C.【答案】C考点五投影例5(2013·南宁)小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是()A．三角形B．线段C．矩形D．正方形【点拨】将长方形硬纸板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段；将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形或正方形；由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．故选A.【答案】A1．由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是()解析：上下两个正方体的主视图都为正方形，上面的正方体与大正方体的右侧对齐，故主视图中，小正方形与大正方形的右侧对齐．故选C.答案：C2.如图是某几何体的三视图，则这个几何体是()A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球解析：主视图和左视图都是三角形，则该几何体是锥体，而俯视图是带圆心的圆，则该几何体是圆锥．故选C.答案：C3．如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是(D)解析：从上向下看茶杯，圆柱形茶杯的正投影是圆，而杯把的正投影是线段，故选D.4．如图所示是一个由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的主视图为(C)5．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为()A．12πB．24πC．36πD．48π解析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱，且高为6，底面圆的直径为4，∴该几何体的体积为π×(4÷2)2×6＝24π.故选B.答案：B6．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是4或5或6或7.解析：由主视图可知，该几何体有上下两层，左右三列；由左视图可知该几何体有上下两层，前后两排．想象该几何体的俯视图，且把小正方体的个数在俯视图上表示如下图所示．所以组成该几何体的小正方体的个数最少有4个，最多有7个．故组成该几何体的小正方体的个数可能是4或5或6或7.答案：4或5或6或7考点训练一、选择题(每小题4分，共68分)1．如左图所示的几何体的俯视图可能是(C)解析：俯视图是从上向下看，能看见圆锥的底面的全部，即俯视图为带圆心的圆．故选C.2．(2014·广安)如左图所示的几何体的俯视图是(D)解析：水桶是上面粗，下面细，所以它的俯视图是两个同心圆，上面的提手的俯视图是一条线段．故选D.3．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是()A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③•②③④解析：由图看出，①太阳光从南向北照射，且影子稍微偏东，是中午刚过；②太阳光从西向东照射，是傍晚；③太阳光从东向西照射，是早上；④太阳光从南向北照射，且影子稍微偏西，是快中午；综上所述，按时间先后顺序正确的是③④①②.故选C.答案：C4．(2014·毕节)如图是某一几何体的三视图，则该几何体是()A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥解析：该几何体的三个视图中有两个长方形，则该几何体为柱体；左视图是圆，则该几何体是圆柱．故选C.答案：C5．(2014·河南)将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是(C)解析：上面的长方体的左视图为矩形，看见的棱用实线表示，下面的长方体的左视图是矩形，且从几何体看出，两个矩形的宽度相等．故选C.6．(2013·黄冈)已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为()解析：根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，其主视图应该是矩形，并且能看到两条棱，背面的棱则用虚线表示，故选D.答案：D7．(2014·自贡)如图，是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，这个几何体的正视图是(D)解析：由俯视图可知，该几何体从左向右分为3列，左边一列只有一层，中间一列也只有一层，右边一列有前后两排，前面一层，后面两层，故正视图为D.8．(2014·烟台)如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是(C)解析：从前向后看，看到的图形的外轮廓是一个正方形，内部还有一条左下右上方向的对角线．故选C.9．(2014·黔南州)形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如下图所示，则其主视图是()解析：由题意可知，该物体是由两个长方体木块一个横放一个竖放组合而成，且看不见的线画为虚线，故可得到它的主视图为D项．故选D.答案：D10．(2014·内江)如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是(D)解析：因为正视图是从前向后观察物体所看到的图形，又因纸杯的杯口大杯底小，从前向后观察物体，正视图应为D图形状．故选D.11．(2014·济南)如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是()A．主视图的面积为5B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4解析：该几何体的三视图分别如下：所以主视图面积为4，俯视图面积为4，左视图面积为3.故选B.答案：B12．(2014·潜江)如图所示的几何体的主视图是(A)解析：圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图也是一个长方形，且圆柱的主视图位于长方体的主视图的左侧．故选A.13．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)有两个相同，而另一个不同的几何体是()A．①②B．②③C．②④D．③④解析：正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形；圆柱的主视图和左视图是长方形，俯视图是圆；圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；球的主视图、左视图和俯视图都是圆．故选B.答案：B14．(2014·达州)小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图所示，则n的值是()A．6B．7C．8D．9解析：综合三个视图可知：这n盒粉笔共摆了三层，下面一层有4盒粉笔，中间一层有2盒粉笔，上面一层有1盒粉笔，共4＋2＋1＝7(盒)．故选B.答案：B15．(2013·巴中)如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是()A．大B．伟C．国D．的解析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“伟”与面“国”相对，面“大”与面“中”相对，面“的”与面“梦”相对．故选D.答案：D16．如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是()A．3B．4C．5D．6解析：从主视图可以看出，左列2层，右列1层；从左视图可以看出，后列1层，前列2层，根据俯视图可知左边2列，右边1列，所以小立方块的排列形式和数量如图，共4个．故选B.答案：B17．(2014·呼和浩特)如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为()A．60πB．70πC．90πD．160π解析：由三视图可知该几何体为空心圆柱，高为10，外直径为8，内直径为6，则体积为π×822－π×622×10＝70π.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)18．如图是一个圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的视图(填“主”“俯”或“左”)．解析：如题图放置的圆锥，主视图和左视图都是等腰三角形，只是轴对称图形；俯视图是带圆心的圆，既是中心对称图形，又是轴对称图形．答案：俯19．同一时刻，物体的高与影子长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长是1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为12m.解析：设电线杆的高为xm，根据同一时刻，物体的高与影子长成比例，得x9＝1.61.2，解得x＝12.20．(2014·攀枝花)如图是一个几何体的三视图，这个几何体是，它的侧面积是(结果不取近似值)．解析：由三视图易判断该几何体为圆锥，根据图中的数据可得圆锥的高为3，底面圆的半径r＝1，由勾股定理可得母线长l＝12＋32＝2，∴它的侧面积为πrl＝2π.答案：圆锥2π21．(2014·扬州)如图，这是一个长方体的主视图与俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方体的体积是cm3.解析：由长方体的主视图可知，长方体的长为3cm，高为3cm；由长方体的俯视图可知，长方体的宽为2cm.所以长方体的体积为3×3×2＝18(cm2)．答案：18三、解答题(共12分)22．(12分)如图是一个几何体的三视图．(单位：cm)(1)写出这个几何体的名称；(2)根据图中所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．解：(1)圆锥．(2)由三视图可得这个圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，则其表面积为πr2＋πrl＝π×422＋π×42×6＝4π＋12π＝16π(cm2)，即这个几何体的表面积为16πcm2