浙江大学-2016-2017学年第2-学期-高等数学A期末考试试卷

1装订线复旦大学高等数学A期末考试试卷2016~2017学年第2学期考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)zyx的定义域为。2.设向量(2,1,2)a，(4,1,10)b，cba，且ac，则。3．经过(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。4．设yzux，则du。5．级数11(1)npnn，当p满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xyxyy的通解是（）A．2xyCeB．22xyCeC．22yyeCxD．2yeCxy2．求极限(,)(0,0)24limxyxyxy（）A．14B．12C．14D．123．直线:327xyzL和平面:32780xyz的位置关系是（）A．直线L平行于平面B．直线L在平面上得分得分2C．直线L垂直于平面D．直线L与平面斜交4．D是闭区域2222{(,)|}xyaxyb，则22Dxyd（）A．33()2baB．332()3baC．334()3baD．333()2ba5．下列级数收敛的是（）A．11(1)(4)nnnB．2111nnnC．1121nnD．311(1)nnn三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程'xyye满足初始条件0x，2y的特解。2.计算二重积分22Dxydxdyxy，其中22{(,)1,1}Dxyxyxy。3．设(,)zzxy为方程2sin(23)43xyzxyz确定的隐函数，求zzxy。得分1.5CM3装订线4.求曲线积分()()Lxydxxydy，其中L沿222(0,0)xyaxy，逆时针方向。5.计算5261Dyxydxdy，其中D是由3yx，1x及1y所围成的区域。6．判断级数1(1)11nnnnn的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。7．将函数1(1)(2)xx展开成x的幂级数，并求其成立的区间。4四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。2.求幂级数1(1)(1)!nnnnxn的和函数。3.设函数()fx和()gx有连续导数，且(0)1f，(0)0g，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知[()()]()LDxydxyfxgxdyygxd，求()fx和()gx。得分1.5CM5装订线参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．2{(,)|210}xyyx2．33．920yz4．1lnlnyzyzyzyzxdxzxxdyyxxdz5．01p二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C2．C3．C4．B5．A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程'xyye满足初始条件0x，2y的特解。解：先求'0yy的通解，得1xyCe………………2分采用常数变易法，设()xyhxe，得''()()xxyhxehxe………3分代入原方程得'()()()xxxxhxehxehxee………………4分得21()2xhxeC………………5分故通解为12xxyeCe………………6分将初始条件0x，2y带入得32C，故特解为1322xxyee…………7分2.计算二重积分22Dxydxdyxy，其中22{(,):1,1}Dxyxyxy。解：设cos,sinxryr………………1分则10,12sincosr………………3分所以1212220sincoscossinDxyrrdxdydrdrxyr………………5分20(sincos1)d………………6分42………………7分1.5CM63.设(,)zzxy为方程2sin(23)43xyzxyz确定的隐函数，求zzxy。解：设(,,)432sin(23)Fxyzxyzxyz………………1分12cos(23),44cos(23),36cos(23)xyzFxyzFxyzFxyz………………4分2cos(23)14cos(23)4,3[12cos(23)]3[12cos(23)]yxzzFFzxyzzxyzxFxyzyFxyz……6分所以1zzxy………………7分4.求曲线积分()()Lxydxxydy，其中L沿222(0,0)xyaxy，逆时针方向。解：圆的参数方程为：cos,sin(0)2xatyatt……………1分0220()()(cossin(cossin)cos)sinLxydxxydyatatdaatatdatt……3分220(cos2sin2)attdt………………4分220[sin2cos2]2att………………6分2a………………7分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5.计算5261Dyxydxdy，其中D是由3yx，1x及1y所围成的区域。解：3{(,)|1,11}Dxyxyx………………1分311526526111xDyxydxdydxyxydy………………2分3312612112[(1)]63xxydx………………4分7装订线1311(||1)9xdx………………5分1302(1)9xdx………………6分16………………7分6.判断级数1(1)11nnnnn的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。解：(1)1111nnnnnnn………………1分1()nn………………3分所以级数发散。………………4分又(1)111(1)(1)11nnnnnnn………………5分1(1)(1)(1)nnnnn………………6分显然，交错级数1(1)nnn，1(1)(1)nnnn都收敛，所以原级数收敛。因此是条件收敛。………………7分7.将函数1(1)(2)xx展开成x的幂级数，并求其成立的区间。解：111(1)(2)12xxxx………………2分而01,||11nnxxx………………3分211[1()](||2)2222xxxx………………4分所以22111[1()](1)(2)222xxxxxx………………5分8101(1)2nnnx………………6分成立范围||1x………………7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1.抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为(,,)Pxyz，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222xyz，………………1分构造拉格朗日函数22222()(1)Fxyzxyzxyz………………2分2222022020010xyzFxxFyyFzFxyzFxyz………………4分解得1(13)2x………………5分得两个驻点为1213131313(,,23),(,,23)22222222PP…………………6分所以最短距离为953，最短距离为953………………7分2.求幂级数1(1)(1)!nnnnxn的和函数。解：因为0!nxnxen，所以0(1)!nnxnxen，………………1分00(1)(1)(11)()(1)!(1)!nnnnnnnxnxSxnn………………2分00(1)(1)!(1)!nnnnnnxxnn………………3分1.5CM9装订线0(1)!nnxnxen………………4分110010010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!nnnnnnnnnnnnnnnnnxnxxxnxnxxxxnxexxnxxnxn(0)x…………5分所以1()(1)(0)xxSxeexx故1()(1)(0)xxSxeexx……6分当0x时，()0Sx。………7分另解：当0x时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!nnnnxnnnnnnxxnxnxnxndx1111001(1)1(1)(1)!(1)!nnnxnnnxxnxnxxdxxdx001(1)!nxnnxnxxdx0011xxxxxdxexdexx11xxeexx11xxeexx当0x时，()0Sx。3.设函数()fx和()gx有连续导数，且(0)1f，(0)0g，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知[()()]()LDxydxyfxgxdyygxd，10求()fx和()gx。解：由格林公式得['()'()]()DDyfxgxxdxdyygxdxdy………………2分即['()'()()]0Dyfxgxxygxdxdy………………3分由于区域的任意性，'()'()()0yfxgxxygx………………4分又由于y的任意性，有'()()fxgx，'()gxx……………5分又由(0)1f，(0)0g得，2()2xgx………………6分所以3()16xfx………………7分