高中数学知识点归纳(理科)

高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳1必修一第一章集合与函数的概念一、集合：1．集合的定义与表示（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合（2）集合的表示：常用大写拉丁字母,,,CBA表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母,,,cba表示（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）（4）元素与集合的关系：属于(Aa),不属于(Aa)（5）常用数集：RQZNN,,,,*（6）集合的表示：列举法，描述法2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（1）子集：一般地，对于两个集合,AB，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作BA（读作A含于B）或AB（读作B包含A）。韦恩表示图略（2）集合相等：如果集合A是集合B的子集（BA），且集合B是集合A的子集（BA），称集合A与集合B相等。记作AB。韦恩表示图略（3）真子集：如果集合BA，但存在元素,xB且,xA称集合A是集合B的真子集，记作BA（读作A真含于B）或AB（读作B真包含A）。韦恩表示图略（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（5）集合的子集个数：含有n个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12n，非空真子集个数为22n3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（1）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作AB（读作：“A并B”），即,ABxxAxB或，韦恩表示图略（2）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作AB（读作：“A交B”），即,ABxxAxB且，韦恩表示图略，数轴表示略高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳2（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UAð，即=,UAxxUxA且ð，韦恩表示图略，数轴表示略说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理4．集合的主要性质和运算律集合的主要性质和运算律包含关系：).(),(;)(,)(;,,,BABBAABBAABACACBBAUACUAAAAU则若集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA结合律：).()();()(CBACBACBACBA分配律：).()()();()()(CABACBACABACBA0—1律：.,,,UAUAAUAAA等幂律：.;,BBAABABAAAAAAA求补律：.)(,,,,AACCUCUCUACAACAUUUUUU反演律：).()()();()()(BACBCACBACBCACUUUUUU二、函数及其表示1．函数的定义：（集合对应定义法）设AB、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作(),yfxxA，其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合()fxxA叫做函数的值域，值域是集合B的子集.函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）(,);,;,,,;,,,;,,,,,ababababaabb无穷大的引入：,,2．函数的表示：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳3列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系分段函数：映射：设AB、是非的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射。会区分函数与映射的关系3．函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解）（1）单调性①增函数，增区间，递增性一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数；区间D叫做函数()fx的一个增区间；这种性质叫做函数的递增性。②减函数，减区间，递减性一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数；区间D叫做函数()fx的一个减区间；这种性质叫做函数的递减性。注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面理解函数单调性会用定义判断并证明函数单调性（2）函数的最大值与最小值：①函数的最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM。那么，我们称M是函数()yfx的最大值。②函数的最小值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM。那么，我们称M是函数()yfx的最小值。注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等（3）函数的奇偶性：①偶函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数叫做偶函数。偶函数图象关于y轴对称。②奇函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数叫做奇函数。奇函数图象关于原点对称。高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳4第二章基本初等函数一、指数与指数函数1．指数与指数幂的运算（1）根式：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根；当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是一对互为相反数，记作(0)naa。负数没有偶次方根。式子na叫做根式，n是根指数，a叫做被开方数；由n次方根的意义得：()nnaa（2）分数指数幂：mnmnaa；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义（3）指数幂的运算性质：,(),(),0,0,rsrsrsrsrrraaaaaabababrsQ其中；2．指数函数及其性质：（1）指数函数：一般地，形如(0,1)xyaaa的函数，叫做指数函数；其中x是自变量，函数的定义域为R。（2）指数函数的图像与性质：指数函数)1,0(aaayx的图象与性质10a1a图象定义域R值域(0,)性质（1）过定点（0，1），即0x时1y（2）单调性在R上是减函数在R上是增函数（3）范围0x时1y；0x时10y；0x时10y；0x时1y；高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳53．对数与对数的运算：（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）一般地，如果(0,1)xaNaa，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围常用对数：10lglogNN自然对数：lnelogNN（2）对数与指数的互化：log,(0,1)xaaNxNaa（3）对数的性质：1log,01logaaa（4）对数的运算性质：)0,0,1,0(logloglogloglogloglog)(logNMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaa（5）对数恒等式：)0,1,0(logbaababa（6）对数换底公式：)0,1,0;1,0(logloglogbccaaabbccaddcbabacbabaloglogloglog,log1log4．对数函数及其性质：（1）对数函数：一般地，形如log(0,1)ayxaa的函数，叫做对数函数；其中x是自变量，函数的定义域为0,。（2）对数函数的图象与性质：指数函数)1,0(logaaxya的图象与性质10a1a图象定义域0,值域R性质（1）过定点（1，0），即1x时0y（2）单调性在0,上是减函数在(0,)上是增函数（3）范围10x时0y；1x时0y；10x时0y；1x时0y；高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳65．幂函数：（1）幂函数定义：一般地，形如ayx的函数，叫做幂函数；其中x是自变量，a是常数。（2）幂函数的图象与性质：xy2xy3xy21xy1xy图象定义域RRR0,0xx值域R0,R0,0yy奇偶性对称性奇函数原点对称偶函数y轴对称奇函数原点对称无奇函数原点对称单调性在R上递增,0上递减0,上递增在R上递增0,上递增,0及0,上递减公共点1,16．函数图象变换平移变换：左右平移与上下平移翻折变换：如何由()yfx图象得到(),()yfxyfx图象对称变换：如何由()yfx图象得到(),(),()yfxyfxyfx图象第三章函数的应用一、函数与方程1．方程的根与函数的零点：（1）函数的零点：对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点。（2）方程的根与函数的零点的关系：方程()0fx有实数根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点（3）方程的根与函数的零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。高中数学必备(必须理解与记忆)知识点归纳72．二分法：（1）二分法定义：对于区间,ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx，通过不断地把函数()fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（2）给定精度，用二分法求函数)(xf零点近似值得基本步骤：1.确定区间,ab，验证()()0fafb，给定精度；2.求区间,)ab的中点c3.计算()fc（1）若()0fc，则c就是函数的零点；（2）若()()0fafc，则令bc（此时零点0(,)xac）；（3）若()()0fcfb，则令ac（此时零点0(,)xcb）；4.判断是否达到精度：即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2~4。二、函数模型及其应用：1．几类不同增长的函数模型：一次函数型（直线型）：均匀上升指数型：爆炸式上升对数型：缓慢式上升幂函数型：爆炸或缓慢式上升2．函数模型的应用：必修二第一章空间几何体1.空间几何体的结构（1）柱、锥、台、球的结构特征：棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法棱台：定义，基本元素（底面（上、下）、侧面、侧棱、顶点），表示方法圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法球：定义，基本元素（球心、半径（直径）），表示方法（2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成高中数学必备(必须理解