机器人3718594433

第五章微分变换和雅可比矩阵一、机器人微分运动1、微分平移2、微分旋转（1）绕坐标轴的微分旋转当θ→0时，sinθ→dθ,cosθ→1zyx,,绕三个坐标轴的微分转角分别为1000010101)(),(),(xyxzyzzRotyyRotxxRot连续三次微分转动结果为(2)绕任意轴的微分转动设K=(Kx,Ky,Kz)T,绕K轴转动θ得变换矩阵为式中V(θ)=1-cosθ.当θ→0则sinθ→dθ,cosθ→1,V(θ)→0,于是1000101001),(dkdkdkdkdkdkdKRotxyyzyz令Kxdθ=δxKydθ=δyKzdθ=δz绕任意轴K微分转动dθ等效于绕x、y、z轴的3个微分转动。10000cosθθvkksinθkθvkksinθkθvkk0sinθkθvkkcosθθvkksinθkθvkk0sinθkθvkksinθkθvkkcosθθvkkθk,Rotzzxyzyzxxyzyyzyxyzxzyxxx3、微分转动的无序性微分转动变换次序与变换矩阵乘积的顺序无关。10000101000110000101001),(),(xyxyxyxyyyRotxxRotyx10000101000110000101001),(),(xyxyxyxyxxRotyyRotyxRot(X,δx)Rot(Y,δy)=Rot(Y,δy)Rot(X,δx)结论：微分转动变换具有可交换性4、机器人的微分算子操作机手部的位姿矩阵：TT相对基础坐标系经过一次微分转动Rot(K,d)和一次微分移动Trans(dx,dy,dz)得到手部微分运动后的新位姿：T+dT于是T+dT=Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)TdT=[Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)–I]T令△=Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)-I，称此表达式为微分算子。于是dT=[Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)–I]T=△T0000000),(),,(dzxydyxzdxyzIKRotdzdydxTrans微分变换的相对性：手部矩阵T做微分运动后的新位姿T+dT也可以看作是齐次矩阵T相对当前手部坐标系T经过一次微分转动Rot(K,d)和一次微分移动Trans(dx,dy,dz)的运动变换得到，即T+dT=TTrans(dx,dy,dz)Rot(K,d)变形得dT=T[Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)-I]令Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)-I=△T则dT=T[Trans(dx,dy,dz)Rot(K,d)-I]=T△T0000000),(),,(TTTTTTTTTTdzxydyxzdxyzIKRotdzdydxTrans微分算子△：由微分平移向量d和微分旋转向量δ组成。TTzyxdzdydxd],,[,],,[TzyxdzdydxD],,,,,[微分运动向量：由d和δ组成的列向量，用D表示。TTTTTTTTzyxdzdydxD],,,,,[同理，△T也是由两个向量dT和δT构成，例题：已知坐标系A和相对基础坐标系的微分平移和微分旋转为10000150010100010Akjikjid01.00,5.001试求微分变化dA。0005.00000011.0001.0000000000dzdydxxyyzyz0005.01.00000101.00000100001500101000100005.00000011.0001.000AdA解：二、坐标系间的等价微分变换其微分变化的变换图为：1、微分运动的等价变换1TTT由（1）给定Δ，求ΔT已知得TTdzdydxTxTTxTTyTzTyTzTT10000000000])[(0])[(00])[(000dpandpndpnoaaTTzyxdzdydxd],,[],,[式中：令微分运动向量D=（dx,dy,dz,δx,δy,δz）T微分运动向量DT=（dxＴ,dyＴ,dzＴ,δxＴ,δyＴ,δzＴ）T于是得微分运动向量D和DT的关系矩阵为：zyxdzdydxaonaonapapopopnpnpaonapaaopoonpnnaonzyxdzdydxzzzyyyzyzyzyxxxxzyxzyxzyxxxTTTTTT)()()()()()(000000)()()(000（2）给定ΔT，求Δ此式与ΔT=T-1ΔT形式相同。已知：1111)(TTTTTT计算Δ中的d和δ时，只需将计算ｄT和δT的公式中的T元素换为T-1，将ｄ和δ换为ｄT和δT即可。由2、多坐标系间的微分变换已知：A是相对基坐标系定义的变换，B是相对于A定义的，B系在基础坐标系中的位姿为T=AB。若T在基础坐标系描述的微分变换Δ，试求T相对当前坐标系B的微分变换ΔB。微分变换方程为：ΔAB＝ABΔBΔB＝（B－１A－１）ΔAB=（AB）-1Δ（AB）ΔAΔBT=ABn,o,a,p])[(])[(])[(dpadzdpodydpndxBBBazoynxBBBΔA＝A-1ΔAΔA=BΔBB-1已知ΔU，求ΔＨ。ΔＨ＝ＥＧ-1ΔＵＧＥ-1=（ＧＥ-1)-1ΔＵ（ＧＥ－１）T=ＧＥ－１或ΔＨ＝Ｈ－１Ｂ－１ＵΔＵＵ－１ＢＨT=Ｕ－１ＢＨ例如：机器人坐标系统间的微分变化如图所示。ΔBΔHΔEΔGΔUXYZUBG三、雅可比矩阵及其变换1、关节与末端操作器的微分运动关系末端操作器在基础坐标系中的位姿用运动矢量P表示为Tzyxzyxp),,,,,(相应的微分位移矢量为TzyxdzdydxdpD],,,,,[Tnqqqq),,,(21Tndqdqdqdq),,,(21机器人在关节空间的所有关节变量用关节运动矢量q表示为相应的关节微分位移矢量为旋转关节：dqi为dθi移动关节：dqi为ddi.p是n个关节变量qi的函数：p=Φ(q1,q2,…,qn)Jdqdp２、雅可比矩阵的求法（1）偏微分法nnnqpqpqpqpqpqpqpqpqpqJ626162221212111式中称J为机器人对机座的雅可比矩阵。Txxxzyxvvvp),,,,,(式中：Tnqqqq),,(21Jdqdp两边同除dt，得手部速度与关节速度之间的关系为手部位姿为x=rcosθy=rsinθ于是得例：求θ—r操作机的雅可比矩阵drdrdydrrydydrdrdxdrrxdxcossinsincosddrrrdydxcossinsincoscossinsincosrrJcossinsincosrryryxrxJrrryxvcossinsincos（2）矢量积方法假设：机器人末端操作器的微分移动和微分转动分别用d和δ表示，线速度和角速度分别用v和表示。iiqZv0移动关节i：雅可比矩阵的第i列0iiZJ转动关节i：iiqZiinoiqPZv)(iinoiiiinoiiZPRZZPZJ雅可比矩阵的第i列式中：表示手部的坐标系原点相对坐标系i的位置在基坐标系0中的表示；Zi是坐标系i的Z轴在基础坐标系中的单位向量。inoPiniinPRP00线速度和角速度在手部坐标系中表示为qJJJJqvn21qJqJRRvRRvTTonTonTonTonnn)(00)()(00)(手部和关节间的速度关系式为（3）微分变换方法TJ求法：应用ΔT=T-1ΔiT，将各关节的微分变化dqi变换到末端坐标系n中，求出用各关节的微分变量dqi来描述的末端操作器在n系中的微分变化。并写成矩阵形式，既为TJ。转动关节i：作微分转动dθiiidd100000izzzzzziTiTiTiTiTiTdaonapopnpzyxdzdydx)()()(末端操作器的等价微分运动矢量为在坐标系i中产生的微分运动矢量为zzzxyxyxyxyxyxyzzzzzziTaonpaappooppnnpaonapopnpJ)()()(移动关节i：作微分移动ddi末端操作器的等价微分运动矢量为在坐标系i中产生的微分运动矢量为000100iidddizzziTiTiTiTiTiTddaonzyxdzdydx000000zzziTaonJnnzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTnzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTTTTTTTdqdqdqdqdddddddddzyxdzdydx321212121212121nzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTnzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTTdddddddddJ212121212121机器人相对手部坐标系的雅可比矩阵为机器人对机座的雅可比矩阵为nzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTnzTzTzTnyTyTyTnxTxTxTnnTnndddddddddRRJRRJ21212121212100000000解：1、建立坐标系例题：如图所示三自由度球坐标机器人，已知三关节的微分位移分别为：321,,dddd求,,33TTd00,dX0Z0X1Z1X2Z2Z3l0d3关节变量aiαiθidi1230-90°l0θ1θ1θ2θ2000-90°d3d3002、D-H参数和关节变量3、求变换矩阵Ai10001010010001101l