固体物理课后习题与答案

1第一章金属自由电子气体模型习题及答案1.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答]自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。2.晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答]费米能级3/222)3(2nmEoF，其中n单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费密能级降低。3．为什么温度升高，费米能反而降低？[解答]当KT0时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。4．为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式3/120)3(nkF可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。这一点从3/2220)3(2nmEF和3/222)3(10353nmEEoF式看得更清楚。电子的平均动能E正比于费米能oFE，而费米能又正比于电子浓度32ln。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。5．两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？[解答]两块同种金属，温度分别为1T和2T，且21TT。在这种情况下，温度为1T的金属高于费米能oFE的电子数目，多于温度为2T的金属高于费米能oFE的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T的金属高于oFE的部分电子将流向温度为2T的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T的金属失去电子，带正电；温度为2T的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。26．为什么价电子的浓度越高，电导率越大？[解答]电导是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径3/12)3(nkF。可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。7．一金属体积为V，价电子总数为N，以自由电子气模型，（1）在绝热条件下导出电子气体的压强为：VUP320，其中电子气体的基态能量0053FNEU（2）证明电子气体的体积弹性模量VUPVpVK91035)/(0。[解答](1)在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU，即PdVWdU式中P是电子气的压强。由上式可得VUP在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由3/22200)3(25353VNmNNEUUF由此可得到VUVNmNVUP32)(32)3(25303/53/2220（2）体积弹性模量K与压强P和体积V的关系为VKVP，将203/83/222910)(3532)3(253VUVNmNVP代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，得到VUK91008．每个原子占据的体积为3a，绝对零度时价电子的费米半径为akF3/120)6(，计算每个原子的价电子数目。[解答]在绝对零度时导电电子的费米半径3/120)3(nkF。现已知一金属导电电子的费米半径3/120)6(akF，所以，该金属中导电电子的密度332an。3a是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。第二章晶体的结构习题及答案1．晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，0A，0B和0C分别与基矢1a，2a和3a重合，除0点外，0A，0B，和0C上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？[解答]晶面家族（123）截1a，2a，和3a分别为1，2，3等份，ABC面是离原点0最近的晶面，0A的长度等于1a长度，0B的长度等于2a的长度的1/2，0C的长度等于3a的长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B、和C都不是格点。2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？[解答]在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。3.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？[解答]晶体中原子间距的数量级为1010米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010米。但可见光的波长为7.6—7100.4米,是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。4．温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？[解答]温度升高时，由于热膨胀，面间距hkld逐渐变大，由布拉格反射公式ndhklsin2可知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面间距hkld逐渐变大，衍射角逐渐变小。所以温度升高，衍射角变小。当温度不变，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角随之变大。7.六角晶胞的基矢jaaia223,jaaib223，ckc。求其倒格基矢。[解答]晶胞体积为cackjaaijaaicba223)]()223[()223(][。其倒格矢为4)33(232)]()223[(2][22*jiacackjaaicba。)33(232)]223()[(2][22*jiacajaaickacb。kccajaaijaaibac232)]223()223[(2][22*。8．证明以下结构晶面族的面间距：（1）立方晶系：2/1222][lkhadhkl；（2）正交晶系：2/1222])()()[(clbkahdhkl；[解答]（1）设沿立方晶系晶轴cba,,的单位矢量分别为i，j，k，则正格子基矢为aia，ajb，akc，倒格子基矢为iaa2*，jab2*，kac2*。与晶面族（hkl）正交的倒格矢***lckbhaKhkl。由晶面间距hkld与倒格矢hklK的关系式hklhklKd2得222lkhadhkl。（2）对于正交晶系，晶胞基矢a，b，c相互垂直，但晶格常数cba，设沿晶轴a，b，c的单位矢量分别为i，j，k，则正格子基矢为aia，bjb，ckc，图2.6立方晶胞图2.7正交晶胞5倒格子基矢为iaa2*，jbb2*，kcc2*。与晶面族（hkl）正交的倒格矢***lckbhaKhkl。由晶面间距hkld与倒格矢hklK的关系式hklhklKd2得2/1222])()()[(clbkahdhkl。9．求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族)(321hhh的面间距。[解答]面心立方正格子的原胞基矢为)(21kjaa，)(22ikaa，)(23jiaa由][2321aab，][2132aab，][2213aab，可得其倒格子基矢为)(21kjiab，)(22kjiab，)(23kjiab，倒格矢332211bhbhbhKh根据式hhhhKd2321，得面心立方晶体晶面族)(321hhh的面间距2/1232123212321])()()[(2321hhhhhhhhhaKdhhhh。体心立方正格子原胞基矢可取为)(21kjiaa，)(22kjiaa，)(3kjiaaa。其倒格子基矢为)(21kjab，)(22ikab，)(23jiab。6则晶面族)(321hhh的面间距为2/1221213232])()()[(2321hhhhhhaKdhhhh。10．试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。[解答]对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们相互间的夹角也相等，即aacabaa321，。利用正倒格子的关系，得baaabsin2][22321，baaabsin2][22132baaabsin2][22213。（1）设1b与2b的交角为12，2b与3b的交角为23,3b与1b的交角为31,则有)cos(cos4])())([(4])[(4)]()[(4cos224222132312233212213322212221aaaaaaaaaaaaaaaabbb（2）由（1）和（2）式得cos1coscos1)cos1(cossincoscoscos22212。由32bb和13bb可得cos1coscos23，cos1coscos31。可见倒格基矢1b与2b的交角，2b与3b的交角,3b与1b的交角都相等。这表明三个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。11．一维原子链是由A，B两种原子构成，设A，B原子的散射因子分别为Af和Bf，入射X射线7垂直于原子链，证明（1）衍射极大条件是nacos，a是晶格常数，是衍射束与原子链的夹角.（2）当h为奇数，衍射强度比例于2BAff.（3）讨论BAff情况.[解答]（1）如图1所示，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为，当入射X光垂直于原子链时，A原子或B原子散射波的光程差为cosa。当nacos时，各A原子（或B原子）的散射波的相位差为0，散射波相互加强，形成很强的衍射光。（2）一个原胞内包含A，B两个原子，取A原子的坐标为（000），B原子的坐标为（0021a）。倒格矢xhabhGhˆ2，则几何结构因子BhAhhdGiBdGiAGefefS)cos(ˆ21ˆ20hffeffefefBAhiBAxaxhaiBGiAh，衍射光的强度22)]cos([hffSIBAGh，因此从上式可知，当h为奇数时，衍射光的强度正比于2BAff。（3）若fffBA，当h为奇数时，衍射光的强度为0。这时，A原子与B原子的散射波的相位差为，相位相反，互相抵消，即对应消光现象。当h为偶数时，衍射光的强度最强，24fI。第三章能带论习题和答案1．布洛赫函数满足)()(reRrnRikn，何以见得上式中k具有波矢的意义？[解答]人们总可以把布洛赫函数)(r展成付里叶级数hrKKihheKKar)(//)()(,其中/K是电子的波矢。将)(r代入)()(reRrnRikn得到nnRikRikee/图1X光衍射8其中利用了ppRKnh(2是整数），由上式可知，/kk，即k具有波矢的意义。2．波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？[解答]波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为1b，2b，3b，而波矢空间的基矢分别为11/Nb，22/Nb，33/Nb；1N，2N，3N分别是