第四章有限差分方法离散方程

有限差分方法离散方程及性能分析主讲：董玉萍1基本概念在实际问题中，我们所关心的是因变量在空间若干特定位置的数值。将因变量在给定点的数值直接作为未知数系数，并求解这些数值，作为满足实际需要的解。离散方法比较项目有限差分法有限元法普方法试函数程序难易程度程序灵活性精确性计算效率适宜的方程主要优点主要缺点局部近似很好好差好各类型经济、程序简单较难推广到高阶局部近似好很好好好椭圆型灵活性好不经济总体近似差差很好很好椭圆型精度高不灵活有限差分的概念在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：（1）区域离散化（2）近似替代（3）逼近求解2差分的基本形式及精度用差商代替微分方程中的导数。以空间导数为例，微分中心为（n,j）向前差分向后差分中心差分xnjnjnj1)(xnjnjnj1)(xnjnjnj2)(11上述几种差分形式可通过Taylor级数展开的方法，得到前差分和后差分具有一阶精度;中心差分具有二阶精度。3显式差分与隐式差分显式格式22以时间步差——空间中心差对上式离散21112xtnjnjnjnjnj则)2(1121njnjnjnjnjxt因为nΔt时刻的Γ值为已知，可用上式直接计算n+1时刻的Γ值。扩散方程隐式格式以时间步差——空间在（n+1）层中心差时对扩散方程离散。21111112xtnjnjnjnjnj未知函数不可能通过上式由已知值直接求解，它必须求解线性方程组才能求出。此为隐式格式。4有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性概念：从偏微分方程建立差分方程时，总是要求τ→0，h→0时差分方程与微分方程充分接近。作用：研究差分方程与微分方程的关系。分类：有条件相容和无条件相容有限差分格式的相容性以扩散方程为例：22当时间步差——空间中心差得差分方程为21112xtnjnjnjnjnj若以Taylor级数展开扩散方得：24422222111111)(12)(21)(2xxttxtxtnjnjnjnjnj类似于导数的差分形式的截断误差，扩散方程的差分形式的截断误差为o(Δt,Δx2)。如果Δx，Δt→0时，截断误差o(Δt,Δx2)→0，则称差分方程与原微分方程是相的。当Δx，Δt以任何形式→0时，o(Δt,Δx2)→0，则称无条件相容。当Δx，Δt以某种方式→0时，o(Δt,Δx2)→0，则称有条件相容。有限差分格式的收敛性概念：指差分方程的解，当Δx，Δt→0时是否逼近原始微分方程的真解。作用：研究差分方程的解是否逼近真解的问题。有限差分格式的稳定性概念：指差分方程在求解的过程中，差分方程的解能否保持一致有界。作用：差分方程的稳定性是其收敛性的充分必要条件，它具有实用价值。分类：点稳定和步稳定。为了理解稳定性的概念，下面介绍两种类型的不稳定。对流扩散方程用FTCS离散在n时刻方程有一个稳定解，由于某种原因存在一个扰动，由该扰动带来解的误差,假定其为线性叠加即待人上式22xut21111111122xxutnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj则有2111111111)(2)()(2)()()()(xxutnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj211111221xxuutnjnjnjnjnjnjnj]2)(21[211111xtxuunjnjnjnjnjnjnj对流项扩散项其显式解：将方程变形可得为了便于讨论，将上述两项的影响分开来讨论由图可见，1)由于εj+1n0,εjn0,εj-1n0,则4εj+1n0；由于εjn0，所以，|εj+1n||εjn|11121)2(njnjnjnjnjxt扩散项：即Δεj+1n趋向于校正负的扰动εjn，同理可分析出Δεj+1n+10，即Δεj+1n+1正好校正正的扰动εj+1n。εj+1n的幅度小于εjn，扰动会趋向于消失，所以扩散过程有利于计算的稳定。2)εj+1n与Δt有关，与Δt成正比，若Δt很大，随着Δt增大，Δ|εj+1n|增大；若|εj+1n||εjn|，则εj+1n会形成振幅不断增大的振动型过冲，有可能不稳定，属于动态不稳定，可用减小Δt的办法来消除。对流项：假定对流速度u＞0，扰动是一个振荡型的。|εjn|，则对j节点有即Δεj+1n与εjn，|εj+1n||εjn|。从而扰动随时间不断的单调增大。结果是不稳定的。称为静态不稳定。)](21[111njnjnjnjuuxt0)(21111njnjnjuuxt它不能依靠改变参数来消除，只有改变差分差分格式才能避免。在实际计算中，这种初始误差的产生和分布常常是随机的，若处理不当，会造成计算不稳定。如果方程中对流项与扩散项同时存在时，两者的相互牵制对时间步长的限制条件，取决于对流项与扩散项的相对重要程度。概念：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数，是一种特殊的三角级数。公式如下：其中kj:波数λ=2π/kj相角φ=kjΔjωj：周期jxikjkekfxfj)()(jxijjefxf)()(傅里叶级数设，上式可整理为21111112xtnjnjnjnjnjdxt2)2(111njnjnjnjnjd22扩散方程为：用FTCS离散扩散方程用VonNeumann法对扩散方程（FTCS）格式进行稳定分析方程的解用傅里叶分量可写成其中：kx为波数；λ为波长，λ=2π/kjx，当λ→∞，kx→0.所以kx=0代表直线；定义相角θ=kxΔx,是波数为kx的分量在时刻n的幅度函数。将解的傅里叶分量带人差分方程xjiknnjxeijnnjen)2()1()1(ijnjinjinijneeede消去得，ije2cos)]1(cos21[)]12(21[)2(iiniiniinneedeedeed利用Euler公式：1nijne1定义，G为幅度因子由上式可得可见，G=G（θ），由于不同的θ值代表不同的分量，所以幅度因子对于不同的傅里叶分量有不同的值。根据VonNeumann法的定义，要使方程的解保持有界，对于所有的θ值都应该有︳G︳≦1相当于Gnn1)cos1(211dGnn1)cos1(211d因为定义域在（-1,1）要使定义域在上式成立，只有d≦1/2即为保持差分方程计算稳定的条件。因为，较稳定条件也可写成dxt22x21t不存在δ﹤0的情况。cosd≦1/2，-1≦1-4d用VonNeumann法对对流扩散方程的（FTCS）格式进行稳定分析对流扩散方程：22xut用FTCS离散21111122xxutnjnjnjnjnjnjnj)2()(2111211njnjnjnjnjnjxtxtu1nj用VonNeumann进行稳定分析)2)()(21)1()1()1()1(ijnjinjinjinjinijneeedeece消去得ije)2(cos)]1(cos2sin1[)]2()(211[iiniiniineeEulerdcieedeec公式ijne11n幅度因子sin)1(cos211icdGnn实部虚部可见G是一个复变量。当c→0时，即对流扩散方程化成纯扩散方程，这个幅度因子即转化成实幅度因子，与前述讨论的结果一致。稳定条件可以从模︳G︳来讨论2222sin)]1(cos21[cdG2G是coscos2G的函数，当（-1,1）内变化时，的变化状态，进一步判别差分的稳定性和稳定条件为了研究G（θ）取得权值的条件，将对求二阶导数，得2Gcos2222228)(coscddGd由数学分析可知，当时，0)(cos222dGd2G取得极小值。在边界上121d,d4-11-cos111cos2222GGGG才能保证时，只有当）（时，当，时，当如果在边界上满足稳定条件，则整个计算过程都是稳定的。02822cd2cdxtuxt2122xudc→2e,eRxuR则若定义雷诺数为不稳定的。，这部分是所以，总会有一部分时，在定义域边界上。当的定义域有极大值，，在当1.11cos0)(cos22222GGdGd不稳定的。格式总是所以纯对流方程的的。满足即纯对流方程。是无须时，。当，因为FTCSRxuR2e022e差分方程稳定的必要充分条件：这种方法对一维、二维的问题都适用。是一种普遍方法。2Re;21d5守恒性物理概念：如果对一个差分方程在定义域的任一有限空间内作求和运算（相当于连续问题中对微分方程积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时，称差分格式具有守恒性。在Δt时间间隔内流入与流出某一区域中的通量之差等于该时间间隔中该区域内的Φ增量。如何控制守恒性从控制容积积分法建立差分方程的角度看，满足下列两个条件时差分格式具有守恒性：1）控制方程守恒型的。2）在同一界面上各物理量（Φ及有关物性）及Φ的一阶导数是连续的。所谓连续，这里指的是从界面两侧的两个控制容积来写出的该界面的值是相等的。6迁移性物理概念：如果对流项的某种差分格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则这种格式称为具有迁移性。7误差7.1误差的类型：1）截断误差是指以差分代替导数时略去的部分，与函数性质及变量有关。严格来说，是差分方程的误差而不是解的误差。2）舍入误差是指在差分方程的求解的过程中，特别是迭代求解时，由于计算机计算长度的限制而引起的。舍入误差的计算较困难，必须用概率分析的方法来定量估计。7.2误差的物理概念从物理概念上理解，误差可分成阻尼误差、相位误差、混淆误差、传输误差四种。1）阻尼误差是由于离散引入的隐含的人工粘性所造成的误差。2）相位误差是由于离散的作用引起的。在有限差分计算中，不同的傅里叶分量有不同的对流流速，波长越大的分量对流流速越接近于正确的速度u，而波长较短的分量则以低于或高于u的相速传送这样各个傅里叶分量间的相位关系产生畸变，造成解的相位误差。3）混淆误差是由于傅里叶分量的相互作用，能量逆转重新补充到长波分量中，从而使长波分量产生畸变甚至引起计算的不稳定。4）传输误差是由于不正确的对出流边界条件的额外要求引出的另一种类型的误差。8举例将对流方程0xut用（FTCS）显示差分离散，并分析其性能。用（FTCS）离散02111xutnjnjnjnj用VonNeumann法分析稳定性)(21111njnjnjnjxtu