5.1-有限差分方法基础

1第2章有限差分法基础§2-1差分原理及逼近误差§2-2差分方程，截断误差和相容性§2-3收敛性与稳定性§2-4Lax等价定理§2-5利用有限差分法求解应用问题的一般步骤§2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finitedifferencemethod(FDM)2第2章有限差分法基础有限差分法:将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分方程组；该差分方程组的解就是元微分方程定解问题的数值近似解。3第2章有限差分法基础有限差分法:优点：是一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。不足：在处理求解对象的集合边界上缺乏灵活性，即边界节点（网格交点）没有全部坐落在边界线（面）上。适合用于传热、流动等工程问题的求解。4第2章有限差分法基础有限差分法:直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。有限元方法:适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于内存和计算量巨大。并行不如FDM直观。不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。5§2-1差分原理及逼近误差1．差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为xxfxxfxydxdyxx)()(limlim00dxdy是函数对自变量的导数，又称微商；y、x分别称为函数及自变量的差分，xy为函数对自变量的差商。（2-1）Finitedifferencemethod(FDM)6向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxfy（2-2）向后差分（2-3）中心差分（2-4）x〉0§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)7上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。y2以向前差分为例，有)()(2)2()]()([)]()2([)()()]()([)(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy§2-1差分原理及逼近误差（2-5）Finitedifferencemethod(FDM)8依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶前差分为)]}()(([{)]}([{)]([)(21xfxxfyyyynnn§2-1差分原理及逼近误差（2-6）Finitedifferencemethod(FDM)9函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为xxfxxfxy)()(一阶向后差商为xxxfxfxy)()(§2-1差分原理及逼近误差（2-8）（2-7）Finitedifferencemethod(FDM)10一阶中心差商为xxxfxxfxy)21()21(或xxxfxxfxy2)()(§2-1差分原理及逼近误差（2-9）（2-10）Finitedifferencemethod(FDM)11二阶差商多取中心式，即222)()()(2)(xxxfxfxxfxy当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。§2-1差分原理及逼近误差（2-11）Finitedifferencemethod(FDM)12以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,),,(),,(xyxfyxxfxf,),,(),,(yyxfyyxfyf§2-1差分原理及逼近误差（2-13）（2-12）Finitedifferencemethod(FDM)13由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。现将函数在x的邻域作Taylor展开：))(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV)()())(()(!4)()(!3)(!2)()()()(432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV2．逼近误差§2-1差分原理及逼近误差（2-14）Finitedifferencemethod(FDM)14)()()()(),)(()(!4)()(!3)()(!2)()()()(5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV一阶向后差商也具有一阶精度。§2-1差分原理及逼近误差（2-15）（2-16）Finitedifferencemethod(FDM)15将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相减可得))(()(2)()(2xOxfxxxfxxf可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)16将)(xxf与)(xxf的Taylor展开式相加可得))(()()()(2)(22xOxfxxxfxfxxf这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）§2-1差分原理及逼近误差由于是个小量，因而阶数越大精度越高！xFinitedifferencemethod(FDM)172ix在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的1ix1iixx和，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox2ix1ixix1ix2ix2ix1ixix1ix图2-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商11)()(iiiixxxfxf一阶中心差商11)()(iiiiiixxxxfxxf（1-22）（1-23）§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)18图2-2均匀和非均匀网格实例1§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)19图2-3均匀和非均匀网格实例2§2-1差分原理及逼近误差Finitedifferencemethod(FDM)20§2-2差分方程、截断误差和相容性0xt从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）——对流系数——对流场函数),(tx微分方程用于连续对象问题，差分方程用于离散对象问题1、差分方程Finitedifferencemethod(FDM)21,2,1,0,0ixixxi,2,1,0,ntntn图2-4差分网格§2-2差分方程、截断误差和相容性1、差分方程Finitedifferencemethod(FDM)22若时间导数用一阶向前差商近似代替，即ttninini1空间导数用一阶中心差商近似代替，即xxninini211则在),(nitx点的对流方程就可近似地写作02111xtnininini（2-2）（2-3）（2-4）§2-2差分方程、截断误差和相容性1、差分方程Finitedifferencemethod(FDM)23按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为)(tO用空间中心差商代替空间导数时的误差为))((2xO因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是))(,())(()(22xtOxOtORni这也可由Taylor展开得到。因为))(,()(!31212),(),(),(),(223322xtOxtxtxtttxtxxtxxttxttxninininininininini（2-5）（2-6）§2-2差分方程、截断误差和相容性2、截断误差Finitedifferencemethod(FDM)24一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为)()0,(0xxxt这里)(x为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：)(020111iininininixxt初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）§2-2差分方程、截断误差和相容性2、截断误差Finitedifferencemethod(FDM)25)()(20111iininininixxtFTCS格式（2-9）)()(011iininininixxtFTFS格式（2-10）)()(011iininininixxt（2-11）FTBS格式§2-2差分方程、截断误差和相容性2、截断误差Finitedifferencemethod(FDM)26(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式FTFS:时间、空间均向前差分；FTCS:时间向前、空间中心差分；FTBS:时间向前、空间向后差分；§2-2差分方程、截断误差和相容性2、截断误差Finitedifferencemethod(FDM)27FTCS格式的截断误差为))(,(2xtORniFTFS和FTBS格式的截断误差为),(xtORni（2-12）（2-13）3种格式对t都有一阶精度。§2-2差分方程、截断误差和相容性2、截断误差Finitedifferencemethod(FDM)28一般说来，若微分方程为fD)(其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为fD)(其中D是差分算子，则截断误差为)()(DDR这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。（2-14）（2-15）（2-16）如果当，x0t时，差分方程的截断误差的某种范数||||R也趋近于零，即0||||lim00Rtx则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当、x、0t时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）§2-2差分方程、截断误差和相容性3、相容性Finitedifferencemethod(FDM)29若微分问题的定解条件为gB)(其中B是微分算子，g是