有限元分析基础

1第一讲第一章有限元的基本根念BasicConceptsoftheFiniteElementMethod1.1引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。边值问题(boundaryvalueproblems,场问题fieldproblem)是一种数学问题(mathematicalproblems)(在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。1.2有限元法的基本思路(howdoesthefiniteelementmethodswork)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图1.1受自重作用的等截面直杆图1.2离散后的直杆受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。)()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdL)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()((1)2)(xLEAqdxdux)(xLAqExx等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1)离散化如图1.2所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。(2)用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，)()(1iiiiixxLuuuxu(2)其中iu为第i结点的位移，ix为第i结点的坐标。第i个单元的应变为i，应力为i，内力为iN：iiiiLuudxdu1(3)iiiiiLuuEE)(1(4)iiiiiLuuEAAN)(1(5)(3)把外载荷集中到节点上把第i单元和第i+1单元重量的一半2)(1iiLLq，集中到第i+1结点上。图1.3集中单元重量3(4)建立结点的力平衡方程对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：2)(11iiiiLLqNN(6)令1iiiLL，并将(5)代入得：221)11(2)1(iiiiiiiLEAquuu(7)根据约束条件，01u。对于第n+1个结点，2nnqLNEAqLuunnn221(1-11)建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点位移。1.2.1有限元解与解析解的比较(comparisonoffiniteelementandexactsolutions)图1.4用有限单元代表实际的物理区域过程称为网格化分过程，所划分的网格称为有限元网格。在通常情况下，单元的几何形状是直边的，因此假如所模拟的物理模型包含曲边，用有限元网格包括整个物理模型是不可能，具体如图1.4所示，图1.4(a)划分的网络比较粗，图1.4(b)划分的网络相对比较精细，其包含更多物理模型区域假如插入函数满足特定的数学条件(边值问题)，随着单元数目的增加，有限单元解将收敛于解析解。为了说明这个问题，我们举一个例子来说明：4图1.5图1.5(a)描述锥形、实圆柱体，一端固定，另一端承受一拉力，假定在施加力的端部的位移是我们求解的问题。(1)图1.5(b)所示，假定圆柱体是均一，截面面积为圆柱体的平均面积，因此模型简化为一维的杆单元模型，其解可以通过材料力学求出。(2)图1.5(c)所示，为两个单元的模型，单元长度为整个圆柱体长度的一半，单元面积为相应1/2圆柱体面积的平均值。(3)图1.5(c)所示，为四个单元的模型。图1.6有限元模型与解析解的比较图1.6(a)为各种有限元模型与解析解的比较，从图中我们可以知道，随着划分单元数目的增加，有限元解逐渐向解析解收敛。5图1.6(b)为四单元模型与解析解的位移沿圆柱体长度变化情况，从图中我们知道,在限元模型中单元内部位移变化是线性的(这是由于插入函数是线性的)，且位移向解析解近似逼近。然而在大多数结构问题，我们关注的是由加载引起应力的变化，而应力是通过应力-应变相关关系计算出来的，应变分量由位移分量推导出来的。因此，应力和应变均是派生变量图1.7有限元模型与真实轴向应力解的比较如图1.7为有限元为2、4单元模型与真实轴向应力解，从图中可知，在每个单元内应力是常数，在单元之间应力非连续的(discontinuity)，并且随着单元数的增加，单元之间的应力变化逐渐减少。这一现象是有限元法特有现象，即场变量是连续的，而派生的场变量却未必是连续的。这个例子表明随着单元数目的增加，有限元解如何收敛于真实解，但问题是对复杂问题真实解是未知，因此如何评价有限元解是否收敛于准确解？(1)数值收敛；(2)数值解的合理性；(3)是否满足物理法则如结构是否处地平衡状态；(4)在单元边界上的派生变量的值的非连续性是否合理。1.2.2有限单元法与有限差分法的比较有限差分法是另一种求解由微分方程控制的问题的数值方法。详细的介绍将在第八章进行介绍。在这里，为了与有限单元法比较，仅仅介绍一些基本概念。有限差分法基于函数)(xf的导数的定义：xxfxxfdxxdfx)()()(lim0(1.1)x是独立变量。使用较小，有限步长x得：()()()dfxfxxfxdxx(1.2)假如有一微分方程：001dfxxdx(1.3)使用差分法式(1.3)表示为：()()0fxxfxxx(1.4)式(1.4)改写为：()()()fxxfxxx(1.5)6由差分原理知，一阶差分方程的解包含一积分常数，积分常数由边界值或初始值确定。在这个例子中，认为(0)xA常数。假如选择一积分步长x，为一常数(不要求必须为常数)，因此，10,iixxxiN(1.6)N为整个域上的步数。式(1.6)可改写成：10()0,iiiffxxfAiN(1.7)式1.7为递归关系(RECURRENCERELATION)，提供函数()fx求解域上一些离散点的近似值。图1.8有限差分解与解析解的比较(式1.4，1A)图1.8，描述了解析解2()1/2fxx和步长为0.1x有限差分解的关系。有限差分解仅仅以函数估值的离散点形式表示。在限差分方法中在计算点之间变化方式是不知道的。当然，可以在积分点线性插入一些近似值，以达到对真实曲线的逼近，但投入插值函数是事先不知道的。比较有限差分法与有限元法知：①有限元法在整个物理模型区域求解，基于插值函数，场变量在求解域的变化是作为求解过程一部分，而在有限差分法中，场变量仅仅在离散点处求解②在有限单元法中，派生变量可以求解，而在在有限差分法中仅仅场变量本身可以求解，例如在结构分析中，两种方法均提供位移解，但在有限单元法采用数学方法可以直接对应变分量(straincomponents)求解，而差分法中把应变作为场变量重新求解③有限差分中的积分点与有限元法的节点相类似,所关注变量在该点处进行计算④在有限差分中，随着积分步长的减小如有限分单元中随着网格的加密一样，数值解向准解解收敛，精细化过程代表数学模型从有限向无穷小缩减，求解过程均将微分方程转化为代数方程求解。1.3有限元法的一般计算步骤(AGENERALPROCEDUREFORFINITEELEMENTANALYSIS)无论在结构分析、热分析、还是在流体分析过程中，其一般的计算步骤基本相同，这些步骤体现在计算软件包中包括：1.3.1前处理(preprocesssing)(1)定义求解问题的几何形状；7(2)定义单元类型；(3)定义单元的材料属性；(4)定义单元几何属性，如长度、面积、惯性矩等；(5)划分网格(6)定义物理约束(边界条件)；(7)定义荷载。1.3.2求解(solutions)在求解阶段，有限元程序以矩阵的形式组装控制代数方程，计算场变量的值，然后再计算派生变量如应变、应力、节点反力、热流通量等。1.3.3后处理(postprocessing)分析计算结果称为后处理，一般的有限元计算程序包括如下过程：(1)按大小排列单元应力；(2)检查平衡；(3)计算安全系数；(4)绘制结构的变形形状；(5)以动画的形式描述研究模型的变化(6)绘制应力、变形、应变云图。1.4有限元法的进展与应用有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。1.4.1算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法、非线性问题的解法、动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。1.4.2应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。(1)转向机构支架的强度分析(刘道勇，东风汽车工程研究院动，用8MSC/Nastran完成)图1.7转向机构支架的强度分析(2)金属成形过程的分析(用Deform软件完成)分析金属成形过程中的各种缺陷。图1.8型材挤压成形的分析(型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲)。9图1.9螺旋齿轮成形过程的分析图1.10T形锻件的成形分析(3)焊接残余应力分析(用Sysweld完成)10图1.1结构与焊缝布置图1.12焊接过程的温度分布与轴向残余应力第二、三讲第二章刚度矩阵，弹簧和杆单元StiffnessMatrices,SpringandBarElements2.1引言(introduction)有限元主要特性体现在单元的刚度矩阵。如对于结构有限元分析中，刚度矩阵包含几何和材料信息，这些信息表明结构抵抗外部荷载的变形能力如轴向、剪切、扭转变形。在非结构分析中，如流体和热传导，当受外部作用时，刚度矩阵代表单元抵抗变化的能力。在本章中，主要介绍两个相对简单、一维结构单元(线弹性弹簧单元和弹性压缩-张拉杆11单元)的特性。它们作为基本单元进行介绍，是由于它们是静力学和材料力学经常研究的对象，而不会使学生对有限单元法感到陌生，而是通过工程定理介绍有限元。同时利用这两种单元介绍一下插入函数的概念。根据分析对象的不同，有限单元法根植于不同数学物理法则。，首先针对简单的弹簧和杆系统，利用静力平衡建立有限元模型，然后针对比较复杂结构，我们采用卡式定理和最小势能定理建立有限元模型。2.2线弹簧单元(LINEARSPRINGASAFINITEELEMENT)线性弹簧是一种只能承受轴向加载，在量程范围内，轴向伸长和收缩正比于所受的轴向荷载。荷载与变形的比例常数为弹簧的刚度k(单位：forceperunitlength)图2.1线弹簧单元如图2.1所示，为描述的方便把沿弹簧长度的方向作为单元坐标系(局部坐标系，与这相对应的整体坐标系，在一维空间，整体坐标系与局部坐标系重合)的x轴，1u、2u、1f、2f为作用在单元节点1和2的位移和力，因此单元发生