《空间两点间的距离公式》课件

4.3.2空间两点间的距离公式问题提出1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？2.在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究.4知识探究（一）:与坐标原点的距离公式思考1:在空间直角坐标系中，点A（x，0，0），B（0，y，0），C（0，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？xyzOABC|OA|=|x||OB|=|y||OC|=|z|5思考2:在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？xyzOA22||OAxy=+22||,OByz=+22||OCxz=+BC6思考3:在空间直角坐标系中，设点P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)|PM|=|z|22||OMxy=+在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究.xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)Ox2y2x1y1长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？222dabcdcabOPzyxxyz在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面的距离，怎么求？xOyyOzxOzdzdxdy一、探究：空间两点间的距离公式垂线段的长OPzyxdx0y0z0220022002200xyzdyzdxzdxy在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？垂线段的长xyzo1.空间点到原点的距离ABC(,,)Pxyz|BP|=|z|22|OB|=x+y222|OP|=x+y+z2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M,N,那么M,N的坐标为M（x1，y1，0），N（x2，y2，0）.OyzxMP1P2NM1N2N1M2H在xOy平面上,222121MN=(x-x)+(y-y).OyzxMP1P2NM1N2N1M2H过点P1作P2N的垂线，垂足为H,则1122MP=z,NP=z,所以221HP=z-z.12在RtΔPHP中，2212121PH=MN=(x-x)+(y-y),因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离22212212121PP=(x-x)+(y-y)+(z-z).根据勾股定理222221212212121PP=PH+HP=(x-x)+(y-y)+(z-z),在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):121212222,,.xxxyyyzzz二、空间中点坐标公式名师导引:(1)如何建坐标系?(以长方体的一个顶点为坐标原点,相邻的三条棱所在直线分别为x轴、y轴、z轴)(2)空间点P(x1,y1,z1)与点Q(x2,y2,z2)的中点M的坐标是什么?((122xx,122yy,122zz))例1在空间中，已知点A(1,0,-1)，B(4,3,-1)，求A、B两点之间的距离.应用举例：例2已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标.空间两点间的距离【例3】如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C中点,求M、N两点间的距离.解:如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,∴C1(3,3,2),D1(0,3,2),∵N为CD1的中点,∴N3,3,12.M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点,∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得|MN|=2223131122=212.求解距离问题的关键是什么?(解决本类题目的关键是准确确定点的坐标,正确使用空间两点间的距离公式.若是在具体的立体几何问题中,则需建立适当的坐标系,结合具体的图形特征,利用空间两点间的距离公式求解)跟踪训练31:已知点A(0,1,0)、B(-1,0,-1)、C(2,1,1),若点P(x,0,z)满足PA⊥AB,PA⊥AC,试求点P的坐标.解:∵PA⊥AB,∴△PAB为直角三角形,∴|PB|2=|PA|2+|AB|2,即(x+1)2+(z+1)2=x2+1+z2+1+1+1,即x+z=1,①又∵PA⊥AC,∴△PAC为直角三角形,∴|PC|2=|PA|2+|AC|2,即(x-2)2+1+(z-1)2=x2+1+z2+4+0+1,即2x+z=0,②由①②得1,2.xz∴点P的坐标为(-1,0,2).P139.B3例4如图，在正方体ABCD-A`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点的位置.A`D`B`C`CBAOxyzP(x,y,z1)Q(0,1,z2)H(x,x,0)222111222121||(1)()11()2()22PQzzzzzzz=-++-=-+-+25练习zxyABCOA`D`C`B`MN4、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.22121212平面：|PP|=(x-x)+(y-y)，类比猜想22212121212空间：|PP|=(x-x)+(y-y)+(z-z).一、两点间距离公式在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):121212222xxxyyyzzz二、空间中点坐标公式作业:P138练习：1，2，3。