中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)

第四章几类重要的概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-15-1.填空1）设~(,)XBnp,则EXnp，DXnpq。2）设~()XP,则EX，DX。3）设~()XE,则EX1，DX21。4）设~,XUab,则EX2ab，DX212ba。5)设2~(,)XN,则EX，DX2。6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)XYN,则EX1，DX1，EY2，DY9，(,)CovXY=1.5。7）已知螺钉的重量服从250,2.5N，则100个螺钉总重量服从分布5000,625N。2.已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。解：设X表示5000件产品中的次品数，则~5000,0.001XB。50000.0015，则2100PXPXPX5000499910.99950000.0010.99901555510!1!ee10.006740.033690.95957注：实际上5000499910.99950.9990.959643.设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解：设进货数件数为N，当月销售需求为X，则由题意知~7XP，且707e0.999!kNkPXNk查泊松分布的数值表，可得16N.4.地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客在地铁进站之前的X时刻到达，即旅客候车时间也为X；其数学期望和分别为~[0,5]XU，52EX；2512DX。5.设3.02010,,10~2XPNX求：(1)(10)PX；解：1010(10)00.5PX；(2))100(XP；由1020PX20101010100.5=0.3得100.8所以10(010)0PX100.510.3(3)(0)PX。(0)PX=101010.2注：直接由()fx关于x=10对称，也可求得相关结果。第四章几类重要的概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-16-6.设随机变量2~(1,3)XN，2~(0,4)YN，31ZXY（1）若X与Y相互独立，试求,EZDZ与XZ；解：1,()0,EXEY()9,DX()16DY,X与Y相互独立()3112EZ()9()()97DZDXDY(,)(,31)CovXYCovXXY3()(,)27DXCovXY,997XZ（2）若XY=0.2，求(,)CovXY，,EZDZ。解：(,)340.22.4CovXY()3112EZ()9()()2(3,)DZDXDYCovXY9()()6(,)DXDYCovXY82.67．若2~(,)XN，求证：)1,0(~NX。证明：由2,EXDX得0XEXE21XDXD由于正态分布的线性函数仍服从正态分布，所以)1,0(~NX。证法2：由2~(,)XN得X的概率密度函数为2221e2πxXfx，再由xy得xhyy，从而有XY的概率密度函数为YXfyhyfy2222211ee2π2πyy即~0,1YN。8.某种电池的寿命X服从正态分布2(,)Na，其中a300（小时）,35求：(1)电池寿命在250小时以上的概率；(2)x至少为多少才能使寿命X在xa与xa之间的概率不小于0.9。解：（1）250300(250)135PX101010.923477(2)()3535xxPaxXax210.9,35x则0.951.64535x解得x57.5759.假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：XeY21在区间10,上服从均匀分布。证明：X的概率密度函数为22e000xXxfxx21exy是严格单调可微函数，并且当0,x时0,1y；又由21exy得1ln12xyhy，所以，随机变量第四章几类重要的概率分布班级姓名学号成绩2013-2014-1-17-21eXY的概率密度函数为010XYfhyhyyfy其它11ln1012210Xfyyy其它ln112e01210yyy其它1010y＝其它即21eXY在区间10,上服从均匀分布。10.设二维随机变量(,XY)在区域01,03xy内服从均匀分布，求：（1）联合密度函数(,)fxy；解：区域01,03xy的面积为3，所以(,XY)的联合概率密度函数为101,03,30xyfxy其他（2）()PXY；解：()PXY=1301536xdxdy(3)记01XYUXY，0212XYVXY求(,)UV的联合分布律及UV的分布律。解：5(0,0)()6PUVPXY(0,1)(,2)0PUVPXYXY(1,0)(2)PUVPYXY=10211312xxdxdy1(1,1)(2)12PUVPXYVU0105/6011/121/12U+V012p5/61/121/1211．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X(单位：Kg)服从(60,4)N，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000Kg的概率不大于0.05。设最多装n袋水泥解：令iX表示第i袋水泥的重量，则~(60,4)iXN，且相互独立1,2,,in1(60,4)niiYXNnn{2000}1{2000}PYPY20006010.052nn2000600.951.6452nn2000601.652nn33.0182n所以最多装33袋水泥。