由三角函数图象求解析式

已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（）（A）23(B)23(C)－12(D)12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称，那么||的最小值为（）（A）6（B）4（C）3(D)2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】选A.函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4232k13()6kkZ由此易得min||6.已知函数y=sin（x+）（0,-）的图像如图所示，则=________________【解析】由图可知，544,,2,1255Tx把代入y=sin有：89,5101=sin已知函数()2sin()fxx的图像如图所示，则712f。【解析】由图象知最小正周期T＝32（445）＝32＝2，故＝3，又x＝4时，f（x）＝0，即243sin(）＝0，可得4，所以，712f2)41273sin(＝0。）已知函数()sin(),fxAxxR（其中0,0,02A）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为2(,2)3M.(Ⅰ)求()fx的解析式；（Ⅱ）当[,]122x，求()fx的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）由最低点为2(,2)3M得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2得2T=2，即T，222T由点2(,2)3M在图像上得242sin(2)2,)133即sin(故42,32kkZ1126k又(0,),,()2sin(2)266fxx故（2）7[,],2[,]122636xx　　　　当26x=2，即6x时，()fx取得最大值2；当7266x即2x时，()fx取得最小值-1，故()fx的值域为[-1,2]w.w.w.k.s.5把函数y＝cos(3x＋4)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是()A.向右平移4B.向左平移4C.向右平移12D.向左平移12分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x的系数相同.解：∵y＝cos(3x＋4)＝sin(4－3x)＝sin［－3(x－12)］∴由y＝sin［－3(x-12)］向左平移12才能得到y＝sin(－3x)的图象.答案：D4.将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移3，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是()A.y＝sin(2x＋3)B.y＝sin(2x－3)C.y＝sin(2x＋32)D.y＝sin(2x－32)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y＝f(x)可由y＝sinx，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y=sin2x;再沿x轴向左平移3得y＝sin2(x＋3)，即f(x)＝sin(2x＋32).若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－8对称，则a＝–1.分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x1＝0，x2＝－4是定义域中关于x＝－8对称的两点∴f(0)＝f(－4)即0＋a＝sin(－2)＋acos(－2)∴a＝－1若对任意实数a，函数y＝5sin(312kπx－6)(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k的值是()A.2B.4C.3或4D.2或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.解：∵T＝3)3(,1263122aakk又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T≥3且2T≤3即得43≤T≤23，∴43≤126k≤23解得23≤k≤27，∵k∈Ｎ，∴k＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0)，｜｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.错解：由图知：A＝5由23252T得T＝3π，∴ω＝T2＝32∴y＝5sin(32x＋)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋)＝0由sin(32＋)＝0，得32＋＝kπ＝kπ－32(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝－32或＝3∴y＝5sin(32x－32)或y＝5sin(32x＋3)分析：由题意可知，点(4，5)在此函数的图象上，但在y＝5sin(32x－32)中，令x＝4，则y＝5sin(6－32)＝5sin(－2)＝－5，由此可知：y＝5sin(32x－32)不合题意.那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32＋∈［2＋2kπ，32＋2kπ］(k∈Z)由sin(32＋)＝0得32＋＝2kπ＋π∴＝2kπ＋3(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝3正解二：(最值点法)将最高点坐标(4，5)代入y＝5sin(32x＋)得5sin(6＋)＝5∴6＋＝2kπ＋2∴＝2kπ＋3(k∈Z)取＝3正解三：(起始点法)函数y＝Asin(ωx＋)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx+=0解得的，故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角.由图象求得x0=-2x,∴=-ωx0=-32(-2)=3.正解四：(平移法)由图象知，将y=5sin(32x)的图象沿x轴向左平移2个单位，就得到本题图象，故所求函数为y＝5sin32(x＋2)，即y＝5sin(32x＋3).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx中的x，模仿y=sinx的五点法来作.ωx1+φ=0x1=-,ωx2+φ=x2=ωx3=πx3=,ωx4+φ=x4=,ωx5+φ=2πx5=.即五点(-,0),(,A),(,0).(,-A).(,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A＞0,且A≠1)的图像，可以看作是y=sinx图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sinωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点的横坐标22232322232都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx的图像变换为y=sinωx的图像，其周期由2π变.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k的图像.事实上，设f、t、h分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A，ω，φ有如下物理意义.A称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y的最小正周期).f==称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换.对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称.(2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称.(3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f-1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x对称.【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换.难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程.关键：理解A、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1函数y=3cos(-)的图像可以由y=sinx的图像经过怎样的变换得到?解：y=3cos(-)=3sin［+(-)］=3sin(+).先将y=sinx的图像向右平移个单位，得到y1=sin(x+)的图像.再将y1的图像上各)122T122x42x422x42x444点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2=sin(+)的图像.再将y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).例2用五点法作出函数y=4sin(+)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4π,令+=0,得初始值x0=-(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：+0π2πx-y040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的，即xi=xi-1+(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3设三角函数f(x)=sin(x+)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T==.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须2x42x82x42x32x32x3322x32233233437310414T5k352kk10f(x)的周期≤1，即≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.例4已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求