FEKO7.0各类求解器的介绍

FEKO各类求解器的介绍FEKO中的求救器有矩量法（MOM）、多层快速多极子方法（MLFMM）、物理光学法（PO）、一致性绕射理论（UTD）、有限元（FEM）等计算方法，FEKOSuite7.0在其原有算法基础上，新增时域有限差分(FDTD)求解器，同时增加了多层快速多极子(MLFMM)与物理光学(PO)的混合算法。1.矩量法矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE）如下：tantan(),on.incjAErSw+裏=vvv(1)其中，A为矢量磁位，为标量电位，表达形式分别如下：''||'0||4)()('dsrrerJrArrjkS(2)''||'0||4)(1)('dsrrerrrrjkS(3)定义基函数系列nJ，将电流展开为NnnnJIJ1(4)其中nI为与第n个基函数相关的的电流展开系数。为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为g，对式(3-1)求内积得mincmmJEJJAj,,,(5)将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含N个未知量的N个线性方程，可以写成][]][[emnmnVIZ(6)其中，][mnZ为NN的矩阵，][nI和][emV均为1N的向量，][nI为电流系数，][emV为激励向量，N为未知量数目。其形式分别如下：tanmeincmmSVJEds(7)001()mmmnmnsmnSSZjJadsJdsj(8)上式中，'||'''()()4||njkrrnnSearJrdsrr(9)'||''''()[()]4||njkrrnsnSerJrdsrr(10)矩阵方程(6)建立之后，下一步就是该矩阵方程的求解。求解方法有直接求解和迭代求解等。随着求解问题的规模增大，直接求解方法的计算量非常巨大，计算复杂度为3()ON，而迭代求解每步迭代的计算复杂度为2()ON。得到表面电流之后，可以根据该电流分布求得其他感兴趣的电磁参数，如雷达散射截面（RCS）等。矩量法是FEKO的默认求解器。打开solutionsetting后的General即为矩量法的设置窗口。图1矩量法是数值算法，计算精确，但对于电大尺寸的模型，往往受限于计算资源。下面采用矩量法对边长为1米的立方体的表面电流进行计算。入射角度与z轴夹角为60°，与X轴平行。图2从实验结果中我们可以看到：照亮区有表面电流分布，在被遮挡区域也有表面电流分布，这是绕射的贡献。2.多层快速多极子由于矩量法在矩阵求解过程中受限于计算资源，后来发明了快速多极子算法。快速多极子方法是八十年代末九十年代初国际上提出的用于积分方程计算的快速算法，不但大大加速了矩阵与矢量相乘计算，并且也大大降低了存储量。快速多极子方法的数学基础是矢量加法定理，即利用加法定理对积分方程中的格林函数进行处理。通过在角谱空间中展开，利用平面波进行算子对角化，最后将密集阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏阵与该矢量的相乘计算。其基本原理是：将目标表面离散得到的子目标分组，任意两个子目标间的互耦根据他们所在组的位置关系而采用不同的处理方法。自身组和相邻组采用直接矩量法计算，非相邻组采用聚合－转移－配置方法计算。直接计算快速多极子计算图3主要步骤有以下几步：由加法定理，得到标量格林函数展开式：2ˆˆˆ4jijmimikrimmmmjieikdkekrrkrr（11）同样，可得到并矢格林函数展开式如下：其中，''ˆˆ()mmmmrk为转移因子，表达式如下：用矩量法离散电场积分方程4ˆˆ(,)()()iSitdStkGrrJrEr得到矩阵方程其中，,jijissAdsdstrGrrjr)ˆˆ()ˆˆ(ˆ4),()(2krekkkdikmmmmiijmijmrrkIrrGmmmmlLllmmlmmrkilhkrprk()()()()()0121iNjiijAaFjN112,,4ijjsiFdsktrEr将上两式带入式即可得到快速多极子的表达式如下：2*1ˆˆˆˆˆ,4mmNjiijiifmjmmmmsmiimimNGiGmFGiGikAaAadkkkrkajGVV其中，聚合因子为：ˆˆˆimismiiimSkdsekrVIkkjr配置因子为：ˆˆˆjmifmjjjmSkdsekrVIkktr2、多层快速多极子图4多层快速多极子是快速多极子在多层级结构中的推广。对于N互耦，多层快速多极子方法采用多层分区计算，基于树形结构，特点是：逐层聚合、逐层转移，逐层配置、嵌套递推。对于三维情况，用一立方体包围目标，第一层得到8个子立方体。随着层数增加，每个子立方体再细分为8个更小的子立方体，直到最细层满足要求为止。多层快速多极子除了与快速多极子相同的操作外，还有父层、子层的层间递推计算。多层快速多极子方法的转移计算在各层各组的远亲组间进行，而快速多极子方法的转移计算在非附近组间进行。基于分层结构，多层快速多极子方法由上行过程、下行过程两部份组成。上行过程分为最高层的多极展开、子层到父层的多极聚合。上行过程在多极聚合到第二层后，经远亲转移计算转向下行过程。下行过程则分为父层到子层的多极配置、同层间远亲组的转移和最高层的部分场展开。所有源散射体i对场散射体j的贡献用快速多极子方法表达为12*ˆˆˆˆˆ,4mmNjiiijiifmjmmmmsmiimmNGiGmFGiGAaikAadkkkrkajGVV其中，ia为第i个源子散射体的电流幅度，',,fmjmmsmiaVV分别表示配置、转移、聚合因子。多层快速多极子方法求解上式的具体步骤分为：1）、最高层的多极展开：计算公式为*''ˆˆ()()msmiiikkaSVˆˆˆimismiiimSkdsekrVIkkjr其中，'m为最高层中，子散射体i所在组的组中心。'ˆ()mkS，ˆsmikV分别为最高层'm组的聚合量，聚合因子。2）、多极聚合：将源子散射体在子层子组中心的聚合量平移到父层父组中心表达。这时需要对子层的聚合量插值得到父层所需要个数的聚合量，利用插值矩阵，可得111(1)1ˆˆlmmlnllllKismilnnnsmilnneWkrVkVk上式中，''1,llmm分别表示第l层，第l－1层中源子散射体i所在组的组中心，''1,llmmrr分别为''1,llmm的矢径。插值可用拉格朗日插值公式等方法实现。聚合过程如下图所示。图53）、多极转移：多极聚合到第二层后，便不再向上聚合。此时开始多极转移，即将源区的外向波转移为场区的内向波，为下行过程做准备。在第二层，源区组中心'm的聚合量'ˆ()mkS即为以'm为中心的外向波，以场区组中心m为中心的内向波2ˆmkB如下计算：22ˆˆˆmmmmmmFGkkkBS1''''0ˆˆˆˆ()(21)()()LlmmmmlmmlmmlarkilhkrPrk其中，'ˆ()mmak为第二层上的转移因子。之所以选择第二层开始多极转移，是因为在第二层，远亲组即为非附近组，通过远亲组的转移计算可得到待求的所有非附近组的贡献。以上步骤为多层快速多极子的上行过程，下面步骤为其下行过程。4）、多极配置：将父层父组中心为中心的内向波转化为以子层子组中心为中心的内向波表达。多极配置为多极聚合的逆过程。公式如下：1111111ˆˆ/lmmlnllllKimlnnnmnnlnnkWewwkrBBk5）、多极转移：为了继续从父层到子层递推下去，就必须得到来自于子层子组的所有非附近组的贡献。在多极配置过程中，已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。于是，在多极配置的基础上再叠加上子层子组的远亲贡献，就得到了子层子组的所有非附近组的贡献。计算式如下：2nˆˆˆllmlnmmmlmmkkkBS的12ˆˆˆlllmlnmlnmlnkkkBBB重复4）、5）步，直到最高层为止。6）、部分场展开：对于最高层每个非空组m，在其组中心进行部分场展开，得到m的所有非附近组对组内场点j的贡献21ˆˆˆfmjmIdkkkVB其中，ˆfmjkV为最高层的配置因子，ˆmkB为最高层上以组m为中心的内向波，代表了组m的所有非附近组对组m的贡献。7）、直接计算附近组的贡献，与非附近组的贡献相叠加，便得到了所有源子散射体对场子散射体的贡献。以上即为多层快速多极子方法的原理和步骤。和矩量法相比，相同的计算资源下，利用多层快速多极子求解器可以计算电尺寸更大的目标，而且能保证一定的计算精度。3.物理光学法物理光学法(PO)是应用较广的高频近似方法之一，它的出发点跟积分方程矩量法一样，也为斯特拉顿-朱兰成散射场积分方程，但它基于高频的局部性原理，忽略了各部分感应电流的相互作用，而是根据入射场独立地计算表面感应电流，再对照亮面感应电流进行积分求得散射场。对于任意形状的散射体，其表面可以通过很多三角形面元来近似模拟，计算每个三角面元的散射贡献后求和就可得到目标总的散射场。在用物理光学法计算三角面元的散射场时，通过Gordon法可以将面积分表达式转化为无积分的围线求和表达式，大大减小了数值计算的计算量，所以物理光学方法非常适合用来预估电大尺寸目标的散射特性。图6电磁散射模型示意图Ei,HiEs,HsnASSAnEs,HsJsJms图2.1为电磁散射模型示意图，散射问题可以这样表述，自由空间中一入射波照射到散射体，求散射体外自由空间中任意一点的电磁场。设入射电磁场分别为irE、irH，散射电磁场为srE、srH。总场为入射电磁场和散射电磁场之和，可以表示为：,isisrrrrrrEEEHHH(3.1)根据斯特拉顿-朱兰成散射场积分方程，散射场srE、srH可表示为：000ˆˆˆ[()()()]ssjnGnGnGdsrrrrÑ＝EHEE(3.2a)000ˆˆˆ[()()()]ssjnGnGnGdsrrrrÑ＝-HEHH(3.2b)式中，ˆn为散射体表面外法线的单位矢量，0G和0GV分别是自由空间的格林函数及其梯度。04ikrGer(3.3)式中r为源点至场点的距离。物理光学法从感应定理出发，用散射体表面已知的感应电磁流来取代散射体本身作为散射场的源，表面场的切向和法向分量可以分别认为是电流、磁流以及电荷、磁荷：ˆˆsmsnnrrrrJH,JE(3.4)ˆˆ,smsnnrrEH(3.5)式中srJ和msrJ分别为散射体面电流密度和面磁流密度，s和ms分别是散射体面电荷密度和面磁荷密度。在数学上，格林函数及其梯度等价于惠更斯子波源，每个单元表面的电流、磁流或电荷、磁荷都作为惠更斯子波源与散射场有关，它们把单元电磁流源与观察点上的场联系了起来[1]，在物理上，其正好代表了