数列求和经典例题

数列通项的方法⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项：①)2()111nSSnSannn（；②na等差、等比数列na公式.⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1nfaann；②).(1nfaann⑶构造等差、等比数列求通项：①qpaann1；②nnnqpaa1；③)(1nfpaann；④nnnaqapa12.[示例]已知下列各数列}{na的前n项和nS的公式为*223NnnnSn，求}{na的通项公式。题型一利用公式法求通项[例]数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正数，前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.[练3]数列{an}是公差大于零的等差数列，2a,5a是方程2x02712x的两根。数列nb的前n项和为nT,且nT211nbNn，求数列na,nb的通项公式。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。[例]已知}{na的首项11a，)(2*1Nnnaann，，求}{na的通项公式，并求100a的值。题型二应用迭加（迭乘、迭代）法求通项[练1]数列na中，)(,111nnnaanaa，则数列na的通项na().A12n.B2n.C1)1(nnn.Dn[练2]已知nS为数列na的前n项和，11a，nnanS2，求数列na的通项公式.[例]数列na中，)(231Nnaann,且810a，则4a().A811.B8180.C271.D2726题型三构造等比数列求通项[练1]数列na中，2121,111naaann，求通项公式na。[例]已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.[练2]设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．数列求和方法1.基本数列的前n项和⑴等差数列na的前n项和：nSnbnadnnnaaann211)1(212)(⑵等比数列na的前n项和nS：①当1q时，1naSn；②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11；2.数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.题型一公式法、性质法求和1.已知nS为等比数列na的前n项和，公比7,299Sq，则99963aaaa2.等差数列na中，公差21d，且6099531aaaa，则100321aaaa.[例1]求数列，，，，，)21(813412211nn的前n项和nS.题型二拆项分组法求和[练2]在数列na中，已知a1=2，an+1=4an－3n＋1，n∈N.（1）求数列na的通项公式;（2）设数列na的前n项和为Sn，求Sn。[练].求数列2)12(n的前n项和nS.[例].求和：)1(1431321211nn.题型三裂项相消法求和[例].求和：nn11341231121.[例]求和：n321132112111][练4]已知数列na满足*1112,1Nnaaann(1)求数列na的通项公式。（2）若数列nb满足nnnbbbban14444113121321，求数列nb的通项公式。（3）若12nnnnaac，求数列nc的前n项和nS。【示例】以a1为首项等比数列，q为公比，前n项和Sn的推导题型四错位相减法求和[例].设数列na为nn224,23,22,213320x求此数列前n项的和奎屯王新敞新疆[例].设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.[练1]已知数列}{na、}{nb满足11a，32a，)(2*1Nnbbnn，nnnaab1。（1）求数列}{nb的通项公式；（2）数列}{nc满足2log(1)nnncba)(*Nn，求12......nnSccc。[练4]等比数列na中，已知对任意自然数n,12321nnaaaa,求2232221naaaa的值212.nA1231.nB14.nC1431.nD课后练习1设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。2数列的前项和记为求的通项公式；3在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0,n∈N*.(1)求a2,的值;(2)求数列{an}通项公式;4设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。求数列nb的通项公式5设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096.(1)求数列{an}的通项公式：(2)设数列{log2an}的前n项和为Tn.对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509？6设数列｛an｝的前n项和…。(1)求首项a1求证是等比数列（2）求数列{an}的通项公式7(17)设等差数列{na}的前n项和为ns，公比是正数的等比数列{nb}的前n项和为nT，已知1133331,3,17,12,},{}nnababTSb求{a的通项公式.8已知数列{na}的前n项和222nsnn，数列{nb}的前n项和2nnTb（Ⅰ）求数列{na}与{nb}的通项公式；（Ⅱ）设2nnncab，证明：当且仅当n≥3时，1nncc.9等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记1()4nnnbnNa求数列{}nb的前n项和nT10设数列na的前n项和为,ns对任意的正整数n，都有51nnas成立，记4().1nnnabnNa求数列na与数列nb的通项公式；