误差理论与数据处理-第八章线性参数的最小二乘法与组合测量

4-1第八章线性参数的最小二乘法处理教学目的和要求：通过本章内容的教学，使学生对间接测量不确定度的评定、合成标准不确定度的分配和最佳测量方案的设计有一个系统和全面的了解。要求学生能够熟练的进行间接测量数据的不确定度评定；掌握合成标准不确定度分配的基本原则；初步掌握最佳测量方案设计的方法。主要内容：1．间接测量不确定度的评定：评定的基本公式、评定方法与步骤、实例。2．合成标准不确定度的分配：按等作用原则分配合成标准不确定度、按可能性调整分配后的不确定度、验算调整后的不确定度。3.最佳测量方案的设计：最佳测量函数公式的选择、灵敏系数最小选择。第一节最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为x12,,,nxxx12,,,n测得值落入的概率ix,iixxdx221exp()22iiiivpdx测得值同时出现的概率为12,,,nxxx211exp()2(2)niiniiiiivPpdx最可信赖值满足22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。第一节最小二乘法原理线性参数的最小二乘法处理一般地，线性函数的数学模型为Y＝f（X，a）那么，线性函数的测量方程为tntnnnttttXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY22112222121212121111(8-1)其相应的估计量为tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay221122221212121211118-2相应的残余误差方程为)()()(22112222121222212121111111tntnnnnnnttttxaxaxalylvxaxaxalylvxaxaxalylv8-3第二节正规方程组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy待解的数学模型待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程线性参数的残余误差方程为)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalvmin2222112nniivvvvnnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121正规方程组可写为000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava矩阵形式00021212221212111nntttnnvvvaaaaaaaaa例8—1在不同温度下测定铜棒的长度如下表，试估计0℃时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数a。i123456ti／℃102025304045li／℃2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解测量铜棒长度的数学模型是y＝y0（1＋at）由此列出测量方程yi＝y0（1＋ati）（i＝1，2，…，6）可得残余误差方程vi＝li－y0（1＋ati）（i＝1，2，…，6）其中li——在温度ti下铜棒长度的测量值；a——铜的线膨胀系数。令y0＝a，ay0＝b为待估计的两个参数，则残余误差方程可写为vi＝li－（a＋tib）（i＝1，2，…，6）为了方便计算，将数据列表如下iti／℃ti2／℃2li／mmtili／（℃·mm）1101002000．3620003.62204002000．7240014.43256252000．8050020.04309002001．0760032.154016002001．4880059.264520252001．6090072.0∑170565012006.03340201.3根据残余误差方程，按式（8—22）写出正规方程61616126161iiiiiiltbtatlbtna将表中计算出的正规方程的系数和常数代入正规方程，则有3.340201565017003.120061706baba解之a＝1999.97（mm）b＝0.03654（mm／℃）即y0＝1999.97（mm）Cyb/0000183.097.199903654.00若按矩阵形式计算，则有565017017066126161iiitttn0012.0034.0034.013.16161iiiltlC＝C－1＝ATL＝于是可得LACXT1ˆ03654.097.19993.34020103.120060012.0034.0034.013.1ba所以a＝1999.97（mm）b＝0.03654（mm／℃）即y0＝1999.97（mm）Cyb/0000183.097.199903654.00因此，铜棒长度y随温度t的线性变化的规律为y＝1999.97×（1＋0.0000183t）mm二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程不等精度测量时线性参数的残余误差方程与等精度相同，不同之处在于进行不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即min2222211nnvwvwvw不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程nnnniitititiiitiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw1111222111111222221121111112211210000000002121212222112111nnntttnnvvv1,2,,in1tiijjijyaxv测量残差方程组含有随机误差Ax=yy-Ax=v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvvT()()Miny-Axy-Ax最小二乘法原理式求导TTAAx=Ay正规方程组正规方程组解1ˆTxCAyTAACT()w()Miny-Axy-AxwwTTAAx=Ay1ˆ(TTwwxAA)Ay不等权正规方程组不等精度测量线性参数最小二乘法处理时，要取加权残余误差平方和为最小，即为简化表达式，不妨令将加权残余误差的平方和分别对各x1，x2，…，xt求偏导数，并令其等于零，即min2222211nnvwvwvw222221112nnniiivwvwvwvwZ00021txZxZxZ上列各式的二阶偏导数恒正，即02121212niiawxZ02122222niiawxZ┇021222nititawxZ由此可知，加权残余误差的平方和222221112nnniiivwvwvwvwZ的极小值存在。而由一阶偏导数等于零所构成的线性方程组为nnnniitititiiitiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw111122211111122222112111111221121（8—28）线性方程组（8—28）称为不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程。这是一个t元线性方程组，在其系数行列式不等于零时，有唯一确定的解。这一确定的解满足最小二乘法原理式（8—7）、是未知参数的最佳估计量。线性方程组（8—28）在形式上有如下特征：1沿方程组主对角线上分布的项的系数niijiaw12（j＝1，2，…，t）都是正数；2以主对角线为轴对称分布的项的系数相等，如niiiniiiaawaaw112121若不等精度测量数据l1，l2，…，ln的权分别为w1，w2，…，wn，将不等精度测量的正规方程式（8—28）单位权化，即令trnilwlawaiiiiriir,,2,1,,2,1于是，不等精度测量的正规方程式（8—28）转化为nnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121（8—29）显然，正规方程式（8—29）在形式上与等精度测量的正规方程式（8—22）完全一样。把不等精度测量的正规方程（8—28）各式分别展开，整理后可得与式（8—23）类似的结果000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvawvawvawvawvawvawvawvawvaw三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程一般情况下，若测量方程Y＝f（X1，X2，…，Xn）为非线性函数，则测量的残余误差方程),,,(),,,(),,,(2121222222111111tnnnnnttxxxflylvxxxflylvxxxflylv可以按线性参数的情形列出正规方程并解出δr（r＝1，2，…，t），进而求得相应的估计量xr（r＝1，2，…，t）。)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可看成最小二乘法原理的特例第三节不确定度评定一、测量数据的不确定度评定（一）等精度测量数据的不确定度评定根据χ2分布的性质，有tnvE