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11.2直角三角形（一）【预习探究】预习：1.直角三角形的性质定理与判定:（1）直角三角形的两锐角________；（2）有两个角互余的三角形是_______________.2．勾股定理及其逆定理：（1）直角三角形的两直角边的__________等于____________________；（2）如果三角形两边的___________等于第三边的平方，那么这个三角形是_________.探究：阅读课本“想一想”，回答下列问题：（1）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和_______,那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的____________.（2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为____________,其中一个定理称为另一个定理的____________.①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？③是否任何定理都有逆定理？④思考我们学过哪些互逆定理？例1：如图1-2-8，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.例2：如图1-2-9，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，1．判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（）B：命题正确时其逆命题也正确。（）C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（）2．下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10A：①②④B：②④⑤C：①③⑤D：①③④3．矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．4．△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________．5．已知：如图1-2-4，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=59.（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.图1-2-8图1-2-42求证：EB=ED.例3：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠EBC，CE⊥BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.例4：如图所示，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于F，若EF=5cm.求AF的长.当堂检测：1．如图1-2-12，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是___________.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是___________.2．如图1-2-13，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是_______，还有△__________≌△_________，其判定依据是_______.3．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图1-2-14，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°4．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等图1-2-9图1-2-14图1-2-13图1-2-12DECAB图1-2-10DFECAB图1-2-113D.一条边和一个角对应相等5．已知：如图1-2-15，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.【预习探究】预习：1.什么是线段的垂直平分线？探究：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？已知：求证：【典例精析】例1：如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，求：∠ABC的度数．例2：如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校.（1）当汽车行驶到哪个位置时，与M、N两学校的距离相等？（2）当汽车行驶到哪个位置时，与M、N两学校的距离和最短？例3：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF.图1-2-15图1-3-2CDEABO图1-3-1图1-3-34当堂检测：1．已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在____________________上.2．已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则∠ADC=.3．△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数.4．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5．如图1-3-5，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCD的周长等于50，求BC的长.6．有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.【预习探究】预习：1．等腰三角形的顶点一定在上．2．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是．3．在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=.探究：１．（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线．观察这三条垂直平分线,你发现了什么?（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线．再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?（3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在；２．已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？【典例精析】例1：知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.图1-3-4图1-3-5图1-3-6图1-3-135例２：如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）.例3：如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD.(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）;(2)求证：BM=EM.当堂检测：1．判断题：⑴三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.()⑵线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等.()⑶三角形三条边的垂直平分线必交于一点（）⑷平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等（）2．若点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.3．如图1-3-16，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=°．4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E求证：（1）∠EAD=∠EDA;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B５．如图1-3-18，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，求∠ABC的度数．1.4角平分线（一）【预习探究】预习：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？ABC图1-3-14图1-3-18图1-3-16图1-3-15图1-3-176探究：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它．【典例精析】例１：在图1-4-1，用尺规作角的平分线．已知：∠AOB求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.例2：如图1-4-2，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC.求证BE=CF例3：已知：如图1-4-3,设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上．引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．当堂检测：1．如图1-4-5，在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确2．到三角形三边距离相等的点是（）A．三条中线的交点；B．三条高的交点；C．三条角平分线的交点；D．不能确定3．在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则图1-4-2图1-4-3AOB图1-4-1图1-4-57AC=_______________.4．△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.5．如图1-4-6，在Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，求DE+DC.６．已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC1.4角平分线（二）【预习探究】预习：三角形的角平分线的性质和判定定理的内容是什么？作用呢？探究：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．定理：三角形的三条角平分线_____________，并且这一点到三条边的距离____________．【典例精析】例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.例2：如图，AB=AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E.求证：BE+EC=AB.图1-4-6BCABFECABFEACABFECABFEECABFECABFECCABFECABFEFCABFECABFED图1-4-7图1-4-15EDABC图1-4-16EDABCPNMBCA图1-4-148例3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,，点F在AC上，且DF=DB.求证：（1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB.当堂检测：1．如图1-4-18，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ABC交AD于E,EF⊥AB,则AB=，BF=；2．已知：如图1-4-19，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E，若BC=5,则△DEC的周长为.3．如图1-4-20，△ABC中，∠B=42°,AD⊥BC于D，E是BD上一点，EF⊥AB于F，若ED=EF,则∠AEC的度数为（）；A.60°B.62°C.64°D.66°4．给出下列命题：①垂直于同一条直线的两直线平行；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③三角形的三条角平分线相交于一点；④全等