初中数学-巧添辅助线--解证几何题

1585863416175第1页共14页巧添辅助线解证几何题[引出问题]在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=12∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)=12∠BAC即∠DBC=12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=½∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°CABDECABD2α1αβα图一αβ图二1585863416175第2页共14页∵AB=AC∴∠EAG=12∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC。证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD连接BE∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=12∠BAC说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B求证：BC2=AC2+AC•AB分析：由BC2=AC2+AC•AB=AC（AC+AB），启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，构建以AB为腰的等腰三角形。证明：延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA∵∠BAC是△ABD的一个外角∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴ACBCBCCD∴BC2=AC•CDAD=AB∴BC2=AC（AC+AB）=AC2+AC•AB二、中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线（1）延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。（2）构造中位线，如图三（3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。ECABDABACBA1585863416175第3页共14页图一图二图三图四[例题解析]例3．已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE分析：由于BD、CE的形成与D、E两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD或CE移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点D作DG∥AC,交BC于点G（如上图）∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DGB∴BD=DG∵F是DE的中点∴DF=EF在△DFG和△DEFC中，DFG=EFCDGF=FCEDF=EF∴△DFG≌EFC∴DG=CE∴BD=CE证法二：如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH∵F是DE的中点∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过E作EM∥BC,交AB延长线于点G，仿照证法二求解。EGDFCAB1585863416175第4页共14页例4．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中点求证：AD=AB+CD证法一：延长AE交DC延长线于F∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF∵E是BC的中点∴BE=CE在△ABE和△CEF中BAE=FB=ECFBE=CE∴△ABE≌△CEF∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DC+CFCF=AB∴AD=AB+DC证法二：取AD中点F，连接EF∵AB∥CD，E是BC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线∴EF∥AB,EF=12（AB+CD）∴∠BAE=∠AEF∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠FAE∴∠AEF=∠FAE∴AF=EF∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD∴12(AB+CD)=12AD∴AD=AB+CD三．角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种：1.以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。2.由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一图二图三ABCEFDABCEF1585863416175第5页共14页[例题解析]例5．如图（1），OP是∠MON的平分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。（2）如图（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析：本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）结论EF=FD仍然成立理由：如图（3），在AC上截取AG=AE,连接FG在△AEF和△AGF中，AE=AGEAF=FAGAF=AF∴△AEF≌△AGF∴EF=GF,∠EFA=∠GFA由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC∠BCA的平分线可得∠FAG+∠FCA=60°∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°NOFOPOAOMOEOO(1)DCBAEBAFBABACBAA(2)FEDCBAEDCBADCBABACBAA(3)1585863416175第6页共14页∴∠GFC=60°在△CFG和△CFD中GFC=DFCCF=CFDCE=ACE∴△CFG≌△CFD∴FG=FD又因为EF=GF∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的结论EF=FD仍然成立。理由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE∴FH=FG∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°在四边形BEFD中∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEF在△EFG和△DFM中0FDC=BEFEGF=DMF=90FG=FM∴EFG≌△DFM∴EF=DF四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：1.短延长：若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,然后证明AM=c；2.长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,然后证明MB=b。[例题解析]例6如图，在△ABC中，AB=AC,点P是边BC上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再证明CQ=PE答：PD+PE=CM证法一：在CM上截取MQ=PD，连接PQ.∵CM⊥AB于M,PD⊥AB于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM∥DPHDCBAGDCBAMCBAFEDCBAEDCBADCBABACBAA(3)1585863416175第7页共14页∴四边形PQMD为平行四边形∴PQ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ECP∴∠QPC=∠ECP∵PE⊥AC于E∴∠PEC=90°在△PQC和△PEC中PQC=PECQPC=ECPPC=PC∴△PQC≌△PEC∴QC=PE∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PE∴PD+PE=CM分析2：延长DF到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,再证明PN=PE证法2：延长DF到N，使DN=CM，连接CN同证法一得平行四边形DNCM，及△PNC≌△PEC∴PN=PE∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、DE、CM，且PABPACABCSSS，所以可以用面积法求解。证法三：连接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PC∴121212ABPACPABCSABPDSACPESABCM∵AB=AC且PABPACABCSSS∴1112220ABPDABPEABCMABPDPECM说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显QAMAEADAPACABAANQAMAEADAPACABAAMAEADAPACABAA1585863416175第8页共14页FEDCBA时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：1.同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2.同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。[例题解析]例7在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上点，且,,PEABPFBC垂足分别是E、F求证：ABPFBCPE分析：将比例式ABPFBCPE转化为等积式ABPEBCPF，联想到ABPEBCPF1122，即△PAB与△PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接AC与BD交于点O,连接PA、PC在平行四边形ABCD中，AO=COAOBBOCSS同理，AOPCOPAOBAOPBOCCOPPABPBCSSSSSSSS∵,,PEABPFBC,11221122PABPBCSABPESBCPFABPEBCPFABPEBCPFABPFBCPE例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题，需要根据