关于Jordan标准形及其应用-数学毕业论文

本科毕业论文（设计）题目Jordan标准形及其应用院（系）数学系专业数学与应用数学学生姓名XXXXXX学号09020109指导教师XXXXX职称XXXXXX论文字数6987完成日期:2013年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名：日期：导师签名：日期：巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）IJordan标准形及其应用摘要矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要组成部分，因为不是每一个线性变换都有一组基使得它在这组基下的矩阵成为对角形，这个时候为了探索在选择适当的基的情况下，一般的线性变换能化简成什么形状,我们引入了danJor标准形。因为矩阵的danJor标准形具有结构简单、易于计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用，尤其关于化矩阵为若尔当标准形的理论及方法，已经列为线性微分方程组理论的必不可少的基础知识，例如利用若尔当标准形证明方阵的特征根的性质，在计算矩阵多项式中的应用，在计算行列式中的应用,在求解线性微分方程组的应用，现在我们着重讨论的是danJor标准形的理论和应用。关键词：若尔当标准形；特征根；矩阵多项式；行列式Jordan标准形及其应用IITheStandardJordanandItsApplicationAbstractJordancanonicalformofmatrixisanimportantpartoflinearalgebra.It’sduetothatnotalllineartransformationhasasetofbasewhichcouldmakeitinthisgroupunderthematrixbecomediagonalshape.Inordertoexplorethelineartransformationgenerallycanbesimplifiedintowhichkindofshapeinthecaseofselectingtheappropriatebase,weintroducedJordanstandardform.Sincethecanonicalformofamatrixhastheadvantagesofsimplestructure,easytocalculateandothers,soitplaysaveryimportantroleinsolvingthematrixproblems,especiallyaboutthetheoryandmethodwhichcouldtransformmatrixintoJordannormalform.Forthesereasons,ithasbeenlistedastheessentialfoundationofknowledgetohelpsolvethelineardifferentialequationstheory.Nowadays,theJordancanonicalformofmatrixisextensivelyusedinlinearalgebra,suchasthecharacterofusingtheJordanstandardformtoproofthecharacteristicrootofmatrix,inaddition,applicationincalculatingthematrixpolynomial,determinantandlineardifferentialequation.NowwhatwewilldiscussemphaticallyisthetheoryofJordanstandardformanditsapplication.Keywords:Jordannormalform,characteristicroots,matrixpolynomial,determinant目录中文摘要...........................................................I英文摘要..........................................................II引言...............................................................11.Jordan矩阵相关的定义定理.......................................11.1Jordan矩阵相关的定义...........................................11.2Jordan标准形相关的定理.........................................32.矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的解法........................72.1Jordan标准形的计算.............................................92.2相似变换矩阵的解法.............................................103.Jordan标准形的应用............................................123.1利用若尔当标准形证明方阵的特征根的性质.........................123.2在计算矩阵多项式中的应用......................................143.3在计算行列式中的应用..........................................163.4在求解线性微分方程组的应用....................................17结束语...........................................................19参考文献.........................................................20巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）1引言对于学过高代的我们都知道，在矩阵对角化中对于属于不同特征值的特征向量不可能是线性相关的，即使把它们组合在一起也无济于事。此外，如果它们的个数恰好和空间的维数相同，那么可以通过一组合适的基将此线性变换化为对角形；反之，不管通过哪组基，这个矩阵都不能变换为对角形。换而言之，若A为n维线性空间V中的一个线性变换，那么A的矩阵可以变换为对角形的充要条件是A有且只有n个线性无关的特征向量。然而，对于每一个线性变换，符合我们上面讲的“合适的基”不可能都只有一组，但是考虑到矩阵对角化的简明方便，我们还是希望在选择适当的基的情况下，一般的线性变换尽可能的对角化从而简化成某种形式，这个时候我们就要引入danJor标准形。接下来我们将要讨论说明的就是danJor标准形的定义、定理、求法以及danJor标准形的一些简要应用。1.Jordan矩阵相关的定义定理1.1Jordan矩阵相关的定义首先我们来介绍一下一个最基本的概念，“什么是矩阵”：定义1.1.1[1]由sn个数排列而成的s行n列的形如snssnnaaaaaaaaa212222111211的称为一个ns矩阵。有了矩阵的定义做基础，我们给出danJor矩阵的定义。Jordan标准形及其应用2定义1.1.2[1]形式为00001000(,)00100001ttJt的矩阵称为danJor块，矩阵中的指复数.若一个准对角矩阵上的元素都是若尔当块，那么这个矩阵就称为若尔当形矩阵，它的一般形式为12SAAA，其中111iiiiiiikkA,并且12,,,s中有一些可以相等.例如210021002，0100001000010000，ii00这些矩阵都是danJor块,而像410000041000004000000400000011000001这样的矩阵就是一个danJor形矩阵。顾名思义，一级矩阵实质上指的就是一级danJor块，即Jordan矩阵中涵盖了对角形矩阵。为什么会这样呢？显而易见，danJor矩阵是一个下三角形矩阵，所以很容易能够得出其特征多项式的全部的根（重根按重数算），即为其主对角线上的元素。接下来我们来看下一个很重要的概念：定义1.1.3[2]在数域P上线性空间V中存在一个线性变换A，如果P中有一数0，能够存在一个非零向量，并且有巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）3A=0.那么此时称0为A的一个特征值，而称为A的属于特征值0的一个特征向量。并且只有特征值能够决定它的特征向量，这是由于不管一个特征值有多少特征向量，一个特征向量只能从属于一个特征值。1.2Jordan标准形相关的定理定理1.2.1[3]如果两个-矩阵有相同的不变因子（或行列式因子），那么这两个矩阵等价，这也是其充要条件。定理1.2.2[2]若当定理（1）设AnnC，即有可逆阵TnnC，使ATT1=nJJ1,其中kJ=k11kknnCk，sk,,2,1(2)设AnnC，xCxg，若1，…，n为A的全部特征值，则Ag的全部特征值为1g，…，ng，即TATg1=)(0)(gn1g。定理1.2.3[4]矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子。引理若n维线性空间V上线性变换B满足OBk，k是某一个正整数，我们就称B为V上的幂零线性变换.那么此时对于B,线性空间V中肯定有如下形式的一组元素作为基)0()0()0(.211211121212121skskkskkkssBBBBBBBBBs，，，于是B在这组基下的矩阵为Jordan标准形及其应用4skkk01010010100101021（1）证明对维数n作归纳法。当n=1，V有基1，并且可以得到B1=11.那么就可以得到1=0.所以1就是要求的基。此时我们假设此引理在维数小于n的时候仍然成立。接下来我们对满足条件的n维线性空间V来考察B的不变子空间BV.如果BV的维数仍然是n，那么BV=V，从而可以得到0VBk，进一步得到V=0，矛盾！故BV的维数小于n.此时将B看成是BV上的线性变换，那么仍然有kB=0.通过上述归纳假设可知，BV上有一组基）（）（）（，，，00022112111212122121