chap4+高级Lyapunov稳定性理论

第4章高级Lyapunov稳定性理论4.1非自治系统的稳定性概念4.2非自治系统的稳定性分析4.3基于Barbalat引理的稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity一、平衡点*0(,)0,fxttt如果系统的状态x*满足则称其为系统的一个平衡点。4.1非自治系统的稳定性概念第4章高级稳定性理论对非自治非线性系统(,)xfxt非自治系统可能不存在平衡点。对不存在平衡点的非自治系统不能用Lyapunov稳定性理论进行分析。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity例4.1考虑非线性系统4.1非自治系统的稳定性概念2()1atxxx系统有一个平衡点0。对系统系统没有平衡点。2()(),()01atxxbtbtx二、非自治系统的稳定性定义4.1平衡点x=0在t0称为稳定的，如果任意给定R0，总存在r(R,t0)0使得当||x(t0)||r时，总有||x(t)||R(t0)。否则称为不稳定平衡点。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定义4.2平衡点x=0在t0是渐近稳定的，如果1、它是稳定的；2、r(t0)0，使得当||x(t0)||r时，总有||x(t)||0，t。定义4.3平衡点x=0是指数稳定的，如果存在正数α,λ使得对充分小的x(t0)，有0()00(),ttxtxett定义4.4平衡点x=0是全局指数稳定的，如果对任意x(t0)，有x0，t。例4.2非线性系统()xatx00()()exp()ttxtxtardr4.1非自治系统的稳定性概念()0at稳定0()ardr渐近稳定()0tTtardrr指数稳定SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity它的解为1xxt三、一致稳定性(Uniformstability)定义4.5平衡点x=0是局部一致稳定的，如果可以选择定义4.1中的标量r与t0无关，即r=r(R)。定义4.6平衡点x=0局部一致渐近稳定的，如果1、它是一致稳定的；2、存在与t0无关的r0，使得当||x(t0)||r时，系统状态一致收敛于0。例4.3考虑一阶系统001()()1txtxtt系统的解渐近收敛于零，但不是一致收敛。4.1非自治系统的稳定性概念注4.1：一致渐近稳定蕴含渐近稳定；指数稳定蕴含渐近稳定，而渐近稳定不保证指数稳定。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity00,(,)()ttVxtVx4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析4.2.1非自治系统的Lyapunov直接方法一、时变正定函数和具有无穷大上界的函数定义4.7标量时变函数V(x,t)是局部正定的，如果V(0,t)=0且存在时不变正定函数V0(x)使得定义4.8标量时变函数V(x,t)具有无穷大上界，如果V(0,t)=0且存在时不变正定函数V1(x)使得10,(,)()tVxtVx第4章高级稳定性理论SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity22212(,)(1sin)()Vxttxx例4.4下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界。该函数是正定的，控制函数22012()Vxxx也具有无穷大上界，控制函数22012()2()Vxxx二、非自治系统的Lyapunov定理定理4.1如果在平衡点0的邻域BR0内存在具有连续偏导数的标量函数V(x,t)使得(1)V是正定的；(2)是负半定的。那么平衡点在Lyapunov意义下稳定。V4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity如果条件(1)(2)满足并且(3)V具有无穷大上界。那么平衡点一致稳定。如果条件(2)加强为负定，则平衡点一致渐近稳定。如果球BR0用全空间代替，且满足条件(1)、加强条件(2)、条件(3)以及(4)V(x,t)是径向无界的。则平衡点全局一致渐近稳定。V4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity例4.5考察下面时变系统2112212txxexxxx选择标量函数22212(,)(1)tVxtxex该函数正定，且具有无穷大上界。同时222112222222112212122122tVxxxxexxxxxxxx负定。故平衡点全局渐近稳定。4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定义4.9称连续函数:R+R+为K类函数，如果(0)0引理4.1函数V(x,t)是局部（或全局）正定的，当且仅当存在一个K类函数，使得对t0，xBR0（或全状态空间），有V(0,t)=0及(,)()Vxtx4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析()0,0pp是不减的。函数V(x,t)具有局部（或全局）无穷大上界，当且仅当存在K类函数，使得对t0，xBR0（或全状态空间），有V(0,t)=0及(,)()VxtxSchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity定理4.2假设在平衡点0的某邻域内，存在具有连续偏导数的标量函数V(x,t)和一个K类函数，使得对x0，有1)(,)()0Vxtx4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析则原点在Lyapunov意义下稳定。进一步，如果存在一个K类函数，使得3)(,)()Vxtx2)(,)0aVxt则原点一致稳定。如果条件1和3成立，且条件2a替换为2)(,)()0bVxtx其中为另一个K类函数，则原点一致渐近稳定。如果在整个状态空间都满足条件1，2b和3，且limxx则原点全局一致渐近稳定。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity几点说明：1、对自治系统，如果V正定且其沿系统轨线的导数负定，则原点渐近稳定。对非自治系统，还必须加上无穷大上界的条件。2、V的正定性及其导数的半负定性能够保证原点的稳定性。如果V的导数负定，则可以找到一个无穷序列ti，使得x(ti)0，i。3、对非时变质量-弹簧-阻尼系统，如果阻尼为正，则系统渐近稳定。对带有时变阻尼的质量-弹簧-阻尼系统，阻尼c(t)严格大于零不能保证原点的渐近稳定性。如4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析(2)0txexx对初始状态x(0)=2,x(0)=-1的解为()11txteSchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity任何线性时不变系统的标准分析方法（如特征值判别法）都不能用于线性时变系统。Lyapunov直接方法是研究线性时变系统稳定性的一种有效方法。考虑下面时变线性系统()xAtx如果对任意t≥0，A(t)的特征值均具有负实部不能保证系统的稳定性。例如：21122101txxexx矩阵A(t)的特征值在所有时间内均为-1。但是：22112()(0),(0)ttxtxexxxe三、线性时变系统的稳定性分析x1可视为一阶滤波器的输出，输入趋于无穷，故系统不稳定。4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity线性时变系统渐近稳定的充分条件是对称矩阵A(t)+AT(t)的所有特征值具有负实部。证明：选择Lyapunov函数，则TVxx()()TTTTTVxxxxxAtAtxxxV于是0,0()(0)TttxxVtVe因此x指数趋近于零。1、摄动线性系统考虑以下形式的线性时变系统12()xAAtx一些特殊的线性时变系统稳定性结论：4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity以及20()Atdt2、矩阵A(t)充分光滑性条件对线性时变系统，假设对t≥0，A(t)的所有特征值都具有负实部，且矩阵A(t)都是有界的，即0()()TAtAtdt则系统全局渐近稳定。则系统全局指数稳定。其中A是定常胡尔维茨矩阵，时变矩阵A2(t)满足2()0,Att4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity讨论：1、对非自治系统，线性化方法是否依然有效？一般来说，非自治系统的雅克比矩阵A通常是时变的。如果线性化后系统一致渐近稳定，则原系统也是一致渐近稳定的。如果线性化后系统仅仅是渐近稳定的，则不能得出原系统稳定性的任何结论。2、Lyapunov函数的存在性？如果非自治系统的原点是稳定的，则存在一个具有非正导数的正定函数V(x,t)。如果平衡点是一致渐近稳定的，则存在一个具有负定导数的正定且具有无穷大上界的函数V(x,t)。4.2非自治系统的Lyapunov稳定性分析SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity对自治系统，不变集原理是研究系统稳定性的强有力工具，而Barbalat引理是分析非自治系统稳定性的重要工具。给定一个关于t的可微函数，有下面三个重要结论：4.3基于Barbalat引理的稳定性分析4.3.1函数及其导数的渐近性质1、收敛0ff几何上，导数趋于零意味着切线越来越平，但这并不意味着该函数收敛。如：或()sin(In)ftt()sin(In)fttt2、f收敛0f当t时，f存在极限并不意味着导数趋于零。如：22()sin()ttftee第4章高级稳定性理论3、如果f有下界且非增，则存在极限。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity4.3.2Barbalat引理引理4.2如果可微函数f(t)当t时存在有界极限，且一致连续，则t时。()0ftf4.3Barbalat引理注4.2：1、可微函数一致连续的充分条件是其导数有界。该条件是验证函数是否一致连续的简单方法。2、Barbalat引理的一个直接而有用的推论：如果可微函数f(t)当t时存在有界极限，f二阶导数存在且有界，则当t时，f一阶导数0。SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity下面引理由Barbalat引理直接得出，在非自治系统分析中的作用类似LaSalle不变集原理。(1)V(x,t)有下界；(2)半负定；(,)Vxt引理4.3（类Lyapunov引理）如果存在标量函数满足(3)对时间一致连续。(,)Vxt那么。(,)0,Vxtt证明：根据定理条件，V存在极限V，使得VV(x(0),0)，由Barbalat引理可证。4.3Barbalat引理SchoolofElectricalEngineering,ZhengzhouUniversity其中e和是跟踪误差和参数误差，(t)是有界连续函数。()()eetet例4.6考虑带有未知参数的一阶自适应控制系统的闭环误差系统方程为